2019年高考数学 考纲解读与热点难点突破 专题08 三角恒等变换与解三角形（热点难点突破）文（含解析）

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1、三角恒等变换与解三角形1．tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值为(　　)A.B.C．－D．－答案　D解析　因为tan120°＝＝－，即tan70°＋tan50°－tan70°tan50°＝－.2．在△ABC中，若原点到直线xsinA＋ysinB＋sinC＝0的距离为1，则此三角形为(　　)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定答案　A解析　由已知可得，＝1，∴sin2C＝sin2A＋sin2B，∴c2＝a2＋b2，故△ABC为直角三角形．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccos

2、C，c＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为(　　)A．1＋B．2＋C．4＋D．5＋答案　D解析　在△ABC中，acosB＋bcosA＝2ccosC，则sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，即sin(A＋B)＝2sinCcosC，∵sin(A＋B)＝sinC≠0，∴cosC＝，∴C＝，由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，又S＝absinC＝ab＝，∴ab＝6，∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.4．已知α为锐角，则2tanα＋的最小值为(　　)A．1B．2

3、C.D.答案　D方法二　∵α为锐角，∴sinα>0，cosα>0，∴2tanα＋＝＋＝＝＝≥×2＝，当且仅当＝，即α＝时等号成立．故选D.5．已知2sinθ＝1－cosθ，则tanθ等于(　　)A．－或0B.或0C．－D.答案　A解析　因为2sinθ＝1－cosθ，所以4sincos＝1－＝2sin2，解得sin＝0或2cos＝sin，即tan＝0或2，又tanθ＝，当tan＝0时，tanθ＝0；当tan＝2时，tanθ＝－.6．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC，若a＝，则b2＋

4、c2的取值范围是(　　)A．(3,6]B．(3,5)C．(5,6]D．[5,6]答案　C解析　∵(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC，由正弦定理得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝，又A∈(0，π)，∴A＝，∴B＋C＝.又△ABC为锐角三角形，∴∴

5、4－2cos≤6，可得b2＋c2的取值范围为(5,6]．7．设△ABC内切圆与外接圆的半径分别为r与R.且sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝________；当BC＝1时，△ABC的面积等于________．答案　－　解析　∵sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，∴a∶b∶c＝2∶3∶4.令a＝2t，b＝3t，c＝4t，则cosC＝＝－，∴sinC＝.当BC＝1时，AC＝，∴S△ABC＝×1××＝.8．如图，在△ABC中，BC＝2，∠ABC＝，AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于D，E两点，且DE＝，则BE2＝________.答案

6、　＋解析　如图，连接CD，由题设，有∠BDC＝2A，所以＝＝，故CD＝.又DE＝CDsinA＝＝，所以cosA＝，而A∈(0，π)，故A＝，因此△ADE为等腰直角三角形，所以AE＝DE＝.在△ABC中，∠ACB＝75°，所以＝，故AB＝＋1，在△ABE中，BE2＝(＋1)2＋2－2×(＋1)××＝＋.9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝cosC，并且a＝，则△ABC的面积为________．答案　10．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2.(1)如图1，若AD⊥BC，求∠BAC的大小；

7、(2)如图2，若∠ABC＝，求△ADC的面积．解　(1)设∠BAD＝α，∠DAC＝β.因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，所以tanα＝，tanβ＝，所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝＝＝1.又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝.(2)设∠BAD＝α.在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，BD＝3.由正弦定理得＝，解得sinα＝.因为AD>BD，所以α为锐角，从而cosα＝＝.因此sin∠ADC＝sin＝sinαcos＋cosαsin＝＝.所以△ADC的面积S＝×AD×DC·sin∠ADC＝×6×2×＝(1＋)．11．已知函数f(x)＝cos·s

8、in＋cos2－.(1)求函数f(x)