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《2019年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.3 直线的方向向量讲义（含解析）湘教版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3．3直线的方向向量[读教材·填要点]1．直线的方向向量一般地，如果向量v≠0与直线l平行，就称v为l的方向向量．2．直线的方向向量的应用(1)两条直线垂直⇔它们的方向向量垂直．(2)要证明两条直线平行，只要证明这两条直线不重合，并且它们的方向向量与平行，也就是证明其中一个方向向量是另一个方向向量的实数倍：＝k(k是某个实数)．(3)求两条异面直线AB，CD所成的角．若两条异面直线AB，CD所成的角为α，，所成的角为α1，则cosα＝
2、cos_α1
3、＝.[小问题·大思维]1．直线的方向向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？提示：直线的方向向量不是唯一的，直
4、线的不同的方向向量是共线向量．2．两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系？提示：相等或互补．求异面直线所成的角(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A. B.C.D.[自主解答] 以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，，1)，则＝(1,0，－1)，＝(1，－，－1)．所
5、以cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为.[答案] C利用向量求异面直线所成角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；(4)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．1.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝.OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．求异面直线AB与MD所成角的大小．解：作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立空间
6、直角坐标系．则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D，M(0,0,1)．设AB和MD所成角为θ，∵＝(1,0,0)，＝，∴cosθ＝＝.∴θ＝.∴异面直线AB与MD所成角的大小为.证明线线垂直已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.[自主解答] 法一：(基向量法)设＝a，＝b，＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得
7、a
8、＝
9、b
10、＝
11、c
12、＝1，a·c＝b·c＝0，＝a＋c，＝(a＋b)，＝b＋c，＝－＝－a＋b＋c，∴·＝(a＋c)·＝－＋cos60°＋＝0.∴⊥.∴AB1⊥MN.法二：(坐标
13、法)设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，以OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A，B，C，N，B1，∵M为BC中点，∴M.∴＝，＝(1,0,1)，·＝－＋0＋＝0.∴⊥.∴AB1⊥MN.利用向量法证明空间两条直线互相垂直，其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂直．(1)利用坐标法时要建立适当的空间直角坐标系，并能准确地写出相关点的坐标．(2)利用基向量法证明的关键是能用基向量正确表示出相关的向量．2．直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是
14、否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．解：如图所示，建立以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则C1(0,2,3)，M，D(0,0,0)，设存在N(0,0，h)，则＝，＝(0,2,3)，·＝·(0,2,3)＝－4＋3h，∴当h＝时，·＝0，此时⊥，∴存在N∈DD1，使MN⊥DC1.解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图，已知空间四边形OABC各边都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求OE与BF所成的角的余弦值．[巧思] 求异面直线OE与BF所成的角，由于已知OA，OB，OC的长度及夹角，因此，可以用，，表示与
15、，然后利用向量的夹角公式计算即可．[妙解] 设＝a，＝b，＝c，且
16、a
17、＝
18、b
19、＝
20、c
21、＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝.又＝(a＋b)，＝c－b，
22、
23、＝
24、
25、＝.所以·＝(a＋b)·＝a·c－a·b＋b·c－
26、b
27、2＝－.所以cos〈，〉＝＝－.所以直线OE与BF所成角的余弦值为.1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)解析：＝(2,4,6)，且(2,4,6)＝2(
