2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学业分层测评含解析北师大版选修

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1、2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学业分层测评含解析北师大版选修一、选择题1．已知M(－2,0)，N(2,0)，

2、PM

3、－

4、PN

5、＝4，则动点P的轨迹是(　　)A．双曲线　　　　B．双曲线的左支C．一条射线D．双曲线的右支【解析】　本题容易犯片面性错误，从而根据双曲线的定义而得出错误结果．由于

6、PM

7、－

8、PN

9、＝4，恰好等于这两个定点间的距离，故其轨迹是一条射线．【答案】　C2．已知双曲线中心在原点且一个焦点F2(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF2的中点坐标为(0,2)，则该双曲线方程为(　　)A.

10、－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D．－＝1【解析】　易知点P的坐标为(，4)，把点P的坐标代入选项中的方程只有B适合．【答案】　B3．已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若

11、PF1

12、＝3，则

13、PF2

14、等于(　　)A．1或5B．6C．7D．9【解析】　由题意a＝2，∴

15、

16、PF1

17、－

18、PF2

19、

20、＝4.∴

21、PF2

22、＝7.【答案】　C4．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是(　　)A.－y2＝1B．－y2＝1C.－＝1D．x2－＝1【解析】　∵c2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±，0)，设双曲线方程为－＝

23、1(a>0，b>0)，则由解得∴双曲线方程为－y2＝1.【答案】　A5．F1，F2是椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.【解析】　不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，

24、PF1

25、－

26、PF2

27、＝2，　①由椭圆的定义，

28、PF1

29、＋

30、PF2

31、＝2.　②由①②可得，

32、PF1

33、＝＋，

34、PF2

35、＝－，∵

36、F1F2

37、＝4，∴cos∠F1PF2＝＝.【答案】　B二、填空题6．双曲线5x2＋ky2＝5的一个焦点是(2,0)，那么k＝________.【解析】　方程可化

38、为x2－＝1，∴＝2，解得k＝－.【答案】　－7．(xx·北京高考)设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．【解析】　由题意，设双曲线的方程为x2－＝1(b＞0)，又∵1＋b2＝()2，∴b2＝1，即双曲线C的方程为x2－y2＝1.【答案】　x2－y2＝18．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则

39、PF

40、＋

41、PA

42、的最小值为______．【解析】　设右焦点为F′，由题意知F′(4,0)，根据双曲线的定义，

43、PF

44、－

45、PF′

46、＝4，∴

47、PF

48、＋

49、PA

50、＝4＋

51、P

52、F′

53、＋

54、PA

55、，∴要使

56、PF

57、＋

58、PA

59、最小，只需

60、PF′

61、＋

62、PA

63、最小即可，即需满足P、F′、A三点共线，最小值为4＋

64、F′A

65、＝4＋＝9.【答案】　9三、解答题9．若双曲线－＝1的两个焦点为F1、F2，

66、F1F2

67、＝10，P为双曲线上一点，

68、PF1

69、＝2

70、PF2

71、，PF1⊥PF2，求此双曲线的方程．【解】　∵

72、F1F2

73、＝10，∴2c＝10，c＝5.又∵

74、PF1

75、－

76、PF2

77、＝2a，且

78、PF1

79、＝2

80、PF2

81、，∴

82、PF2

83、＝2a，

84、PF1

85、＝4a.在Rt△PF1F2中，

86、F1F2

87、2＝

88、PF1

89、2＋

90、PF2

91、2，∴4a2＋16a2＝100

92、.∴a2＝5.则b2＝c2－a2＝20.故所求的双曲线方程为－＝1.10．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程．【解】　设动圆M的半径为r，由于动圆与圆C1相外切，所以

93、MC1

94、＝r＋，又动圆与圆C2相内切，所以有

95、MC2

96、＝r－，于是

97、MC1

98、－

99、MC2

100、＝(r＋)－(r－)＝2，且2<

101、C1C2

102、，因此动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支．设其方程为－＝1，则有2a＝2，即a＝，又c＝4，∴b2＝c2－a2＝16－2＝14，于是动圆圆心的轨迹方程为－＝1(x≥

103、)．[能力提升]1．已知F1、F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则

104、AP

105、＋

106、AF2

107、的最小值为(　　)A.＋4B．－4C.－2D．＋2【解析】　如图所示，连接F1P交双曲线右支于点A0.∵

108、AP

109、＋

110、AF2

111、＝

112、AP

113、＋

114、AF1

115、－2，∴要求

116、AP

117、＋

118、AF2

119、的最小值，只需求

120、AP

121、＋

122、AF1

123、的最小值．当A落在A0处时，

124、AP

125、＋

126、AF1

127、＝

128、PF1

129、最小，最小值为，∴

130、AP

131、＋

132、AF2

133、的最小值为－2.【答案】　C2．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点

134、P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(　　)A．[3－2，＋∞)B．[3＋2，＋∞)C.D．【解析】　由a2＋1＝4，得a＝，则