2019-2020年高中数学第一章坐标系1.2极坐标系学案新人教B版选修

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1、2019-2020年高中数学第一章坐标系1.2极坐标系学案新人教B版选修[对应学生用书P4][读教材·填要点]1.平面上点的极坐标(1)极坐标系的建立:在平面内取一个定点O,由O点出发的一条射线Ox,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系.O点称为极点,Ox称为极轴.(2)点的极坐标:平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标,ρ称为极径,θ称为极角.2.极坐标与直角坐标的关系(1)极坐标和直角坐标变

2、换的前提条件:①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合;③两种坐标系取相同的长度单位.(2)极坐标和直角坐标的变换公式:或[小问题·大思维]1.平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗?为什么?提示:不是.在极坐标系中,与给定的极坐标(ρ,θ)相对应的点是唯一确定的;反过来,同一个点的极坐标却可以有无穷多个.如一点的极坐标是(ρ,θ)(ρ≠0),那么这一点也可以表示为(ρ,θ+2nπ)或(-ρ,θ+(2n+1)π)(其中n∈Z).2.若ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外,点M(ρ,θ

3、)与平面内的点之间是否是一一对应的?提示:如果我们规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)来表示.这时,极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系.3.若点M的极坐标为(ρ,θ),则M点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么?提示:设点M的极坐标是(ρ,θ),则M点关于极点的对称点的极坐标是(-ρ,θ)或(ρ,θ+π);M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ,-θ);M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ,π-θ)或(-ρ,-θ).[对应学

4、生用书P5]极坐标系的概念[例1] 已知定点P.(1)将极点移至O′处,极轴方向不变,求P点的新坐标;(2)极点不变,将极轴顺时针转动,求P点的新坐标.[思路点拨] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法.解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系,然后求相应的点的极坐标.[精解详析] (1)设P点新坐标为(ρ,θ),如图所示,由题意可知

5、OO′

6、=2,

7、OP

8、=4,∠POx=,∠O′Ox=,∴∠POO′=.在△POO′中,ρ2=42+(2)2-2·4·2·cos=16+12-24=4,∴ρ=2.即

9、O′P

10、=

11、2.∴

12、OP

13、2=

14、OO′

15、2+

16、O′P

17、2,∠OO′P=.∴∠OPO′=.∴∠OP′P=π--=.∴∠PP′x=.∴∠PO′x′=.∴P点的新坐标为.(2)如图,设P点新坐标为(ρ,θ),则ρ=4,θ=+=.∴P点的新坐标为.建立极坐标系的要素是:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线,它与极轴所在的直线是有区别的.极角θ的始边是极轴,它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置;θ的正方向通常取逆时针方向,θ的值一般是以弧度为单位的量数;点M的极径ρ表示

18、点M与极点O的距离

19、OM

20、,因此ρ≥0;但必要时,允许ρ<0.1.在极坐标系中,点A的极坐标是,则(1)点A关于极轴的对称点是________;(2)点A关于极点的对称点的极坐标是________;(3)点A关于直线θ=的对称点的极坐标是________.(规定ρ>0,θ∈[0,2π))解析:如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化.另外,我们要注意:极角是以x轴正向为始边,按照逆时针方向得到的.答案:(1) (2) (3)点的极坐标和直角坐标的互化[例2] 以极点为原点,极轴为x轴

21、正半轴建立直角坐标系.(1)已知点A的极坐标为,求它的直角坐标;(2)已知点B和点C的直角坐标为(2,-2)和(0,-15),求它们的极坐标.(ρ>0,0≤θ<2π)[思路点拨] 本题考查极坐标和直角坐标的互化.解答此题只需将已知条件代入相关公式即可.[精解详析] (1)∵x=ρcosθ=4·cos=2,y=ρsinθ=4sin=-2,∴A点的直角坐标为(2,-2).(2)∵ρ===2,tanθ==-1,且点B位于第四象限内,∴θ=.∴点B的极坐标为.又∵x=0,y<0,ρ=15,∴点C的极坐标为.(1)将极

22、坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的公式是:x=ρcosθ,y=ρsinθ.(2)将直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的公式是:ρ2=x2+y2,tanθ=(x≠0).在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围.2.(1)已知点的极坐标分别为A,B,C,D,求它们的直角坐标;(2)已知点的直角坐标分别为A(3,-),B,C(-2,2),求它们的极坐标,其中极角θ∈[0,2π).解:(1)根据x=ρc

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