2019-2020年高中数学第一章坐标系1.2极坐标系学案新人教B版选修

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1、2019-2020年高中数学第一章坐标系1.2极坐标系学案新人教B版选修[对应学生用书P4][读教材·填要点]1．平面上点的极坐标(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．(2)点的极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．2．极坐标与直角坐标的关系(1)极坐标和直角坐标变

2、换的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)极坐标和直角坐标的变换公式：或[小问题·大思维]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2nπ)或(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(其中n∈Z)．2．若ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点M(ρ，θ

3、)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示．这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．若点M的极坐标为(ρ，θ)，则M点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．[对应学

4、生用书P5]极坐标系的概念[例1]　已知定点P.(1)将极点移至O′处，极轴方向不变，求P点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动，求P点的新坐标．[思路点拨]　本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．[精解详析]　(1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知

5、OO′

6、＝2，

7、OP

8、＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝，∴∠POO′＝.在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.即

9、O′P

10、＝

11、2.∴

12、OP

13、2＝

14、OO′

15、2＋

16、O′P

17、2，∠OO′P＝.∴∠OPO′＝.∴∠OP′P＝π－－＝.∴∠PP′x＝.∴∠PO′x′＝.∴P点的新坐标为.(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝＋＝.∴P点的新坐标为.建立极坐标系的要素是：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的．极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径ρ表示

18、点M与极点O的距离

19、OM

20、，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.1．在极坐标系中，点A的极坐标是，则(1)点A关于极轴的对称点是________；(2)点A关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A关于直线θ＝的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0,2π))解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．答案：(1)　(2)　(3)点的极坐标和直角坐标的互化[例2]　以极点为原点，极轴为x轴

21、正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A的极坐标为，求它的直角坐标；(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)[思路点拨]　本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可．[精解详析]　(1)∵x＝ρcosθ＝4·cos＝2，y＝ρsinθ＝4sin＝－2，∴A点的直角坐标为(2，－2)．(2)∵ρ＝＝＝2，tanθ＝＝－1，且点B位于第四象限内，∴θ＝.∴点B的极坐标为.又∵x＝0，y＜0，ρ＝15，∴点C的极坐标为.(1)将极

22、坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的公式是：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.(2)将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)．在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．2．(1)已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标；(2)已知点的直角坐标分别为A(3，－)，B，C(－2,2)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．解：(1)根据x＝ρc