2018-2019学年高中数学 第1部分 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 共面向量定理讲义（含解析）苏教版选修2-1

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1、3．1.2　共面向量定理如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问题．问题1：、、可以移到一个平面内吗？提示：可以，因为＝，三个向量可移到平面ABCD内．问题2：，，三个向量的位置关系？提示：三个向量都在平面ACC1A1内．问题3：、、三个向量是什么关系？提示：相等．1．共面向量一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量．2．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共

2、面．2．向量共面不具有传递性．3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．向量共面的判定[例1]　给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量；③若存在有序实数组(x，y)使得＝x＋y，则O、P、A、B四点共面；④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面．其中正确命题的序号是________．

3、[思路点拨]　先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断．[精解详析]　①错：空间中任意两个向量都是共面的；②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；③正确：因为、、共面，∴O、P、A、B四点共面；④错：没有强调零向量；⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．[答案]　③[一点通]　共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．1．下列说法正确的是________(填序号)．①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；②设平行六面体的三条棱是、、，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是＋＋

4、；③若＝(＋)成立，则P点一定是线段AB的中点；④在空间中，若向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共面．⑤若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线确定的平面是同一个平面．解析：①②③⑤不正确，④正确．答案：④2．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，试问向量p、q、r是否共面？解：设r＝xp＋yq，则－7a＋18b＋22c＝x(a＋b－c)＋y(2a－3b－5c)＝(x＋2y)a＋(x－3y)b＋(－x－5y)c，∴解得∴r＝3p－5q.∴p、q、r共面.

5、向量共面的证明[例2]　如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.证明：与、共面．[思路点拨]　由共面向量定理，只要用、线性表示出即可．[精解详析]　∵＝＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝＋，∴与、共面．[一点通]　利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解答本题，实质上是证明存在惟一一对实数x，y使向量＝x＋y成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用、表示.3

6、．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量，，是共面向量．证明：法一：＝＋＋＝－＋＝(＋－＝－.由向量共面的充要条件知，，，是共面向量．法二：连接A1D，BD，取A1D中点G，连结FG，BG，则有FG綊DD1，BE綊DD1，∴FG綊BE.∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.BG⊆平面A1BD，EF平面A1BD∴EF∥平面A1BD.同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，∴，，都与平面A1BD平行．∴，，是共面向量．4．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝

7、k，＝k(0≤k≤1)．求证：与向量，共面．证明：如图，在封闭四边形MABN中，＝＋＋.①在封闭四边形MC1CN中，＝＋＋②∵＝k，∴＝k(＋)∴(1－k)＝k，即(1－k)＋k＝0，同理(1－k)＋k＝0.①×(1－k)＋②×k得＝(1－k)＋k，∵＝－，∴＝(1－k)－k，故向量与向量，共面.共面向量定理的应用[例3]　如图所示，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；(2)用向量法证明BD∥平面EFGH.[思路点拨]　(1)要证E，F，G，H四点共面，根据共面向量定理

8、的推论，只要能找到实数x，y，使＝x＋y即可．(2)要证BD∥平面EFGH，只需证向量与向量、共面即可．[精