2018-2019学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 3.1.1 空间向量及其线性运算 3.1.2 共面向量定理学案 苏教版选修2-1

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1、3.1.1　空间向量及其线性运算3.1.2　共面向量定理学习目标：1.了解空间向量与平面向量的联系与区别，掌握空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理．(重点)2.了解向量共面的含义，理解共面向量定理.3.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．[自主预习·探新知]教材整理1　空间向量及其线性运算阅读教材P81的部分，完成下列问题．1．空间向量在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．2．空间向量的线性运算空间向量的线性运算定义(或法则)加法设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，根据平面向量加法的平行四边形法则．平行四边形OACB

2、的对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作a＋b减法与平面向量类似，a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量空间向量的数乘　　　空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa，满足：大小：

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、.方向：当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝01．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小．(　　)(2)空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．(　　)(3)将空间的所有单位向量的起点平移到同一个点，则它们的终点构成一个圆

9、．(　　)(4)若

10、a

11、＝

12、b

13、，则a＝b或a＝－b.(　　)(5)已知四边形ABCD，O是空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是平行四边形．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√2．如图311，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是________(填序号)．图311①－－；②＋－；③－－；④－＋.[解析]　①－－＝－＝；②＋－＝＋＝；③－－＝－＝－＝≠；④－＋＝＋＋＝＋＋＝＋≠.[答案]　①②教材整理2　共线向量阅读教材P82例1上面的部分，完成下列问题．1．共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行

14、或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.教材整理3　共面向量阅读教材P84的部分，完成下列问题．1．共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．2．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.有下列命题：①平行于同一直线的向量是共线向量；②平行于同一平面的向量是共面向量；③平行向量一定是共面向量；④共面向量一定是平行向量．其中正确的命

15、题有________．[解析]　“共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线．①②③均正确．[答案]　①②③[合作探究·攻重难]空间向量及有关概念　下列四个命题：①所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；③若a，b满足

16、a

17、>

18、b

19、，且a，b同向，则a>b；④零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________.【导学号：71392156】[精彩点拨]　根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[自主解答]　对于①：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故①错；对于②：长度相等且方向相反的两个

20、向量是相反向量，故②错；对于③：向量是不能比较大小的，故不正确；对于④：零向量有方向，只是没有确定的方向，故④错．[答案]　①②③④[名师指津]　1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题．[再练一题]1．下列命题中正确的个数是________．①如果a，b是两个单位向量，则

21、a

22、＝

23、b

24、；②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③同向且等长的有向线段表示同一向量；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内

25、．[解析]　①③④正确，②不正确．[答案]　3空间向量的线性运算　化简：(－)－(－)．[精彩点拨]　根据算式中的字母规律，可转化为加法运算，也可转化为减法运算．[自主解答]　法一：将减法转化为加法进行化简．∵－＝＋，∴(－)－(－)＝＋－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.法二：利用－＝，－＝化简．(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.法三：∵＝－，＝－，＝－，＝－，∴(－)－(－)＝(－－＋)－(－－＋)＝－－＋－＋＋－＝0.[名师指津]　1．计算两个空间向量的和或差时，与平面向量完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键．2．计算三个或多个空