2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理讲义苏教版

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1、3.1.1　空间向量及其线性运算3.1.2　共面向量定理学习目标核心素养1.了解空间向量与平面向量的联系与区别，掌握空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理．(重点)2.了解向量共面的含义，理解共面向量定理．3.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题.1.通过平面向量与空间向量的对比，培养逻辑推理素养．2.借助共线、共面向量，提升直观想象与数学运算素养.1．空间向量及其线性运算(1)空间向量在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．(2)空间向量的线性运算空间向量的线性运算定义(或法则)加法设a和b是空间两个向量，过一

2、点O作a和b的相等向量和，根据平面向量加法的平行四边形法则．平行四边形OACB的对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作a＋b减法与平面向量类似，a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量空间向量的数乘　　　空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa，满足：大小：

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、.方向：当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝02．共线向量(1)共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b，

9、规定零向量与任意向量共线．(2)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.3．共面向量(1)能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足＝＋＋，则点P与点A，B，C是否共面？[提示]　(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是

10、共面向量．(2)由＝＋＋得－＝(－)＋(－)即＝＋，因此点P与点A，B，C共面．1．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝(　　)A．a＋b－cB．－a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－cC　[＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋c.]2．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　)A.＝2－－B.＝＋＋C.＋＋＝0D.＋＋＋＝0C　[由MA＋MB＋MC＝0得＝－－，故M，A，B，C四点共面．]3．在三棱锥ABCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________．0　[延长DE交边BC于点F，则有＋＝，＋

11、＝＋＝，故＋－－＝0.]4．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是________(填序号)．①－－；②＋－；③－－；④－＋.①②　[①－－＝－＝；②＋－＝＋＝；③－－＝－＝－＝≠；④－＋＝＋＋＝＋＋＝＋≠.]空间向量的有关概念【例1】　(1)给出下列命题：①若

12、a

13、＝

14、b

15、，则a＝b或a＝－b②若向量a是向量b的相反向量，则

16、a

17、＝

18、b

19、③在正方体ABCDA1B1C1D1中，＝④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C

20、′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④　(2)，，　，，，　[(1)对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知

21、a

22、＝

23、b

24、，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，＝，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.与向量相反的向量有，，，.]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点1．关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．2．注意点：注意一些

25、特殊向量的特性．(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．1．如图所示，以长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．[解]　(1)与向量相等的向量有，，，，共3个；

26、(2)向量的相反向量为，，，，共4个；(3)

27、

28、2＝22＋22＋12＝9，所以

29、

30、＝3.空间向量的线性运算【例2】　(1)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量