高中数学第一章直线多边形圆1.2圆与直线1.2.5相交弦定理学案

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1、1.2.5　相交弦定理课标解读1.掌握相交弦定理及其证明过程．2．能灵活运用相交弦定理进行计算与证明.图1－2－81相交弦定理(1)文字叙述圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)图形表示如图1－2－81，弦AB与CD相交于圆内一点P，则有：PA·PB＝PC·PD.1．相交弦定理、切割线定理、切线长定理之间有什么联系？【提示】　相交弦定理中两弦的交点在圆内，若两弦的交点从圆内移到圆外便得到切割线定理的推论．若将一条割线变为圆的切线便可得到切割线定理，最后两条割线都变成切线便得到切线长定理，这些变化充分体现了运动变化的思想．

2、2．应用相交弦定理应注意什么？【提示】　相交弦定理中要求是两条相交弦，对于多条弦相交且不交于同一点时，要两条两条的利用定理方可．15相交弦定理的简单应用　如图1－2－82，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC＝2，PA＝8，则tan∠ACD的值为________．图1－2－82【思路探究】　由垂径定理知，点P是BD的中点，先用相交弦定理求PD，再用射影定理或勾股定理求AD、CD，最后求tan∠ACD.【自主解答】　∵BD⊥AC，∴BP＝PD，∴PD2＝PA·PC＝2×8＝16，∴PD＝4.连接AD，则∠ADC＝90°，∴tan∠AC

3、D＝.又AD＝＝＝4，CD＝＝＝2，∴tan∠ACD＝＝2.【答案】　21．解答本题的关键是先用相交弦定理求PD，再用勾股定理或射影定理求AD、CD.152．相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．　图1－2－83如图1－2－83，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON，P是⊙O上的点，PM、PN的延长线分别交⊙O于Q、R.求证：PM·MQ＝PN·NR.【证明】　∵OM＝ON，OA＝OB，∴AM＝BN，BM＝AN，∴AM·BM＝AN·BN，又∵PM·MQ＝AM·BM，PN·NR＝AN·BN，∴

4、PM·MQ＝PN·NR.相交弦定理的综合应用　如图1－2－84，△ABC内接于⊙O，P是△ABC的高CE的延长线上一点，PC交⊙O于D，若PA2＝PD·PC，AE＝2，CE＝3，cos∠ACB＝，求BE的长．15图1－2－84【思路探究】　由PA2＝PD·PC知PA是⊙O的切线，∠ACB等于∠PAE，则PA可求，在Rt△APE中PE可求，由切割线定理求出PD，进而求出DE，再由相交弦定理求BE.【自主解答】　由PA2＝PD·PC，知PA是⊙O的切线，∴∠PAE＝∠ACB.∵PC⊥AB，∴∠AEP＝90°.又∵cos∠ACB＝，∴在Rt△P

5、AE中，cos∠PAE＝＝.∵AE＝2，∴PA＝6.在Rt△PAE中，PE＝＝＝4，∴PC＝PE＋CE＝4＋3＝7，∵PA2＝PD·PC，∴PD＝＝＝，∴DE＝PE－PD15＝4－＝.∵AE·BE＝DE·CE，∴BE＝＝＝.1．解答本题时应注意所求与已知的关系，通过所求明确已知转化的方向，从而求得结论．2．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到切线和割线时要想到切割线定理及推论．如图1－2－85所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O1，⊙O2于点D，E

6、，DE与AC相交于点P.图1－2－85(1)求证：PA·PE＝PC·PD；(2)当AD与⊙O2相切且PA＝6，PC＝2，PD＝12时，求AD的长．【解】　(1)证明：连接AB，CE，∵CA切⊙O1于点A，∴∠1＝∠D.15又∵∠1＝∠E，∴∠D＝∠E.又∵∠2＝∠3，∴△APD∽△CPE.∴＝，即PA·PE＝PC·PD.(2)∵PA＝6，PC＝2，PD＝12.∴6×PE＝2×12，∴PE＝4.由相交弦定理，得PE·PB＝PA·PC.∴4PB＝6×2，∴PB＝3.∴BD＝PD－PB＝12－3＝9，DE＝PD＋PE＝16.∵DA切⊙O2于点A

7、，∴DA2＝DB·DE，即AD2＝9×16，∴AD＝12.图1－2－86　(教材第19页练习第2题)已知：如图1－2－86，AB是⊙O的直径，P和C为AB两侧圆上的两点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，交AC于点E，交BC的延长线于点F.求证：DP2＝DE·DF.(2013·湖南高考)15图1－2－87如图1－2－87，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．【命题意图】　本题主要考查圆的相交弦定理及圆的弦的性质和利用勾股定理解直角三角形的方法．【解析】　由相交弦定理得P

8、A·PB＝PC·PD.又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，∴CD＝PC＋PD＝5.过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，∴OE＝＝＝.【答案】　1．圆内两弦AB，CD相交于点P，