高中数学第一章直线多边形圆1.2圆与直线1.2.3弦切角定理学案

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1、1.2．3　弦切角定理课标解读1.理解弦切角的定义．2．掌握弦切角定理，并能解决与弦切角有关的问题．3．体会分类思想、运动变化思想和化归思想.1．弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．2．弦切角定理图1－2－39(1)文字语言弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．(2)图形语言如图1－2－39，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠ADC.1．如图1－2－40所示，CE是⊙O的切线，切点为C，你能说出弦切角∠BCE与弦切角∠ACE所夹的弧吗？16图1－2－40【提示】　弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的

2、弦所对的夹在弦切角内部的一条弧，如图所示，弦切角∠BCE所夹的弧是，弦切角∠ACE所夹的弧是.2．如何正确使用弦切角定理？【提示】　要正确使用弦切角定理，第一步要找到弦切角，弦切角的特点是：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切，这三个条件缺一不可．第二步要准确地找到弦切角所夹的弧，再看这段弧上的圆周角，再用弦切角定理解题，如果没有圆周角，有这段弧所对的圆心角也行．16弦切角定理的简单运用图1－2－41　如图1－2－41，一圆过直角三角形ABC的直角顶点C，且与斜边AB相切于D点，AD＝DB，G为中点，F为上任一点，求证：∠CFG＝∠EF

3、D.【思路探究】　解答本题可先添加辅助线CD，构造弦切角∠CDB.再利用弦切角定理及直角三角形的性质，求证结论成立．【自主解答】　连接CD，∵AB切圆于D点．∴∠CDB＝∠DFC.∵G为的中点，∴∠CDB＝∠DFC＝2∠CFG.∵D为直角三角形ACB的斜边中点，∴CD＝AD，∴∠CDB＝2∠DCE.∵∠DCE＝∠EFD，∴∠CFG＝∠EFD.161．本题在证明过程中，多次使用了角的转化，而转化的依据是弦切角定理和圆周角定理．2．利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添

4、加辅助线构成所需要的弦切角．　图1－2－42如图1－2－42，⊙O的弦AB的延长线和切线EP相交于点P，E为切点，∠APE的平分线和AE、BE分别相交于C、D.求证：EC＝ED.【证明】　∵PE切⊙O于点E，∴∠BEP＝∠A，∵PC平分∠APE，∴∠3＝∠4，又∵∠1＝∠3＋∠A，∠2＝∠4＋∠BEP，∴∠1＝∠2，∴EC＝ED.弦切角定理的综合应用16图1－2－43　如图1－2－43，PA、PB是⊙O的切线，点C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D、E、F，求证：CD2＝CE·CF.【思路探究】　【自主解答】　连接CA、CB.∵PA、P

5、B是⊙O的切线．∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB.又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，∴Rt△CAE∽Rt△CBD，Rt△CBF∽Rt△CAD，∴＝，＝，16∴＝，即CD2＝CE·CF.1．解答本题的难点在于乘积式中的线段不在两个相似三角形中，需用中间量过渡．2．弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理．3．弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现．　图1－2－44

6、如图1－2－44，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E.求证：BC2＝AB·DE.【证明】　连接BD、OD、OC，∵AE切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ABD，且AE⊥AB.又AB∥CD，∴AE⊥CE，∴∠E＝90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，16∴∠E＝∠ADB，∴△ADE∽△BAD，∴＝，∴AD2＝AB·DE.∵CD∥AB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又知∠2＝∠4，∴∠1＝∠3，∴＝，∴AD＝BC，∴BC2＝AB·DE.　(教材第16页练习第2题)已知：△ABC内接于⊙O，∠CAD＝∠B.(1)AB经过圆心O(图(

7、1))，求证：AD是⊙O的切线；(2)AB不经过圆心O(图(2))，求证：AD是⊙O的切线．图1－2－45(2013·辽宁高考)如图1－2－46，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.16图1－2－46证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.【命题意图】　本题主要考查弦切角及圆的有关性质、三角形全等及直角三角形性质等知识．【证明】　(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；又EF⊥AB，得∠FEB＋

8、∠EBF＝.从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由