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《高中数学第一章直线、多边形、圆12圆与直线125相交弦定理学案北师大版选修4-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.2.5相交弦定理白主学习区*课标解读1.常握相交眩泄理及其证明过程.2.能灵活运用相交弦定理进行计算与证明.图1-2-81相交弦泄理(1)文字叙述圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(2)图形表示如图1一2-81,弦昇〃与G?相交于圆内一点只则有：PA・PB=PC・PD.1.相交弦定理、切割线定理、切线长定理之间有什么联系？【提示】相交眩定理中两弦的交点在圆内，若两眩的交点从圆内移到圆外便得到切割线泄理的推论.若将一条割线变为圆的切线便可得到切割线泄理，最后两条割线都变成切线便得到切线长定理，这些
2、变化充分体现了运动变化的思想.2.应用相交弦定理应注意什么？【提示】相交弦定理中耍求是两条相交弦，对于多条弦相交且不交于同一点时，要两条两条的利用定理方可.或展朮师主互动规“知滋介作探相交弦定理的简单应用如图1一2-82,昇C为00的直径，弦肋丄昇C于点只PC=2,PA=8,则tanZJ67?的值为图1_2_82【思路探究】由垂径定理知，点P是肋的屮点，先用相交弦定理求勿，再用射彫定理或勾股定理求昇〃、CD,最后求tanZ/1677.【白主解答】•:BDLAC,：・BP=PD,:・P&=PA・/亿'=2X8=16,
3、:・PD=4.连接初，则ZADC=90°,tanZ/G9=AD~CD又人/)=寸円f+=y/0+¥=4季,CD=pPC+皿=也+¥=2卡,tanAACD=4^52^5=2.【答案】2I规律方法I1.解答本题的关键是先用相交眩定理求刃，再用勾股定理或射影定理求血?、CD.2.相交眩泄理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明•»变貳训练图1_2_83如图1一2—83,已知初是的直径，OM=ON,戶是上的点，PM.刖的延长线分别交00于0、R.求证：PM・MQ=PN•NR.【证明
4、】J0M=0N,0A=0B,:・AM=BN,BM=AN,:.AM・BM=AN・BN,XPM・加=AM•BM,PN・NR=AN•BN,・*.PM・HQ=PN•NR.相交弦定理的综合应用如图l—2—84,AMC内接于QO.P是'ABC的高处的延长线上一点,PC交（DO于〃，若PA=PD・PC,AE=2f传=3迈，cosZACB=~f求处的长.•0图］_2_84【思路探究】rtlP^=PD・/T知刃是（DO的切线，AACB等于/PAE,则刊可求，在RtWPE中加可求，由切割线定理求出进而求出再由相交弦定理求宓【自主解答】
5、由Pk=PD・PC,知以是（DO的切线，:.上PAE=ZACB.•:PC1AB,・・・Z必290°.又VcosZ^6^=-j,・••在RtAm'44，•:AE=2,・•・/%=6.在Rt△刊产中，PE=pP^_A总=yj62—22=4y/2f:.PC=PE+CE=472+3^2=7^2,・・•阳=PD・PC,:・DE=PE—PDnBE=DE•CE,BE=DE・CEAEI规律方法I1.解答本题时应注意所求与已知的关系，通过所求明确已知转化的方向，从而求得结论.2.在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见
6、到切线和割线时要想到切割线定理及推论.•娈貳训练如图1一2—85所示，已知和OQ相交于〃，〃两点，过点/作02的切线，交G>@于点C；过点〃作两圆的割线分别交Qa,于点〃，E,〃疋与相交于点尢(1)求证：PA・PE=PC•PD；⑵当初与OQ相切且丹=6,PC=2,PD=2时，求肋的长.【解】(1)证明：连接力〃，CE,・・•以切00于点儿・・・Z1=ZZZ又・・・Z1=ZE,.-.ZZ>=Z£又VZ2=Z3,：4PDs'CPE.PAPD•…花—~pk即PA・PE=PC•PD.(2)•:PA=6,PC=2,"9=1
7、2.・・・6X%=2X12,:・PE=4.由相交弦定理，得PE・PB=PA・PC.・・・4丹=6X2,・•・/为=3.:・BD=PD-PB=2—3=9,DE=PD+PE=6.・・•场切0Q于点凡:、M=DB・DE,即畀〃=9X16,:.AD=2.真题链接赏析图1一2—86诊链接（教材第19页练习第2题）已知：如图1—2-86,加是的直径，Q和C为初两侧圆上的两点，过点"作PDLAB,垂足为0,交胚于点、E,交腮的延长线于点F.求证："=DE・DF.（2013・湖南高考）珍赏析图1-2-87如图1一2-87,在
8、半径为⑴的00中，弦AB,d相交于点/，,PA=PB=2,PD=,则圆心。到弦G?的距离为・【命题意图】本题主要考查圆的相交弦定理及圆的弦的性质和利用勾股定理解直角三角形的方法.【解析】由相交弦定理得PA・PB=PC・PD.又PA=PB=2,PD=,则PC=4,：,CD=PC+PD=5.过。作d的垂线处交〃于E,则〃为〃中点，1.（叽/~25・•・0E=
