浙江高考数学总复习第十章第8讲离散型随机变量的均值与方差学案

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1、第8讲　离散型随机变量的均值与方差最新考纲　1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.知识梳理1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称D(X)＝__(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差

2、.2.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.(　　)(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.(　　)(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.(　　)(4)均值

3、与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.(　　)解析　均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2.(选修2－3P68T1改编)已知X的分布列为X－101-9-P设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)A.B.4C.－1D.1解析　E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.答案　A3.已知某离散型随机变量X的分布列如下表，则随机变量X的方差D(X)等于(　　)X

4、01Pm2mA.B.C.D.解析　由已知得m＋2m＝1得m＝，由于X服从两点分布，所以D(X)＝m·2m＝.答案　B4.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，则D(X)等于________.解析　∵E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.答案　85.(2015·广东卷)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.解析　由于X～B(n，p)，且E(X)＝30，D(X)＝20.所以解之得p＝.答案　6.某学校要从5名男生

5、和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量X的数学期望E(X)＝________(结果用最简分数表示).解析　随机变量X只能取0，1，2三个数，因为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，-9-P(X＝2)＝＝，故E(X)＝1×＋2×＝.答案　考点一　一般分布列的均值与方差【例1】(2017·台州调研)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑

6、雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ).解　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为P1＝×＝，两人都付40元的概率为P2＝×＝，两人都付80元的概率为P3＝×＝×＝，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则：

7、P(ξ＝0)＝×＝；P(ξ＝40)＝×＋×＝；P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝；P(ξ＝120)＝×＋×＝；P(ξ＝160)＝×＝.-9-ξ的分布列为ξ04080120160PE(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.规律方法　(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用.【训练1】根

8、据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)