线性代数回顾

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1、线性代数回顾线性代数回顾  1.行列式的实质是一个数  行列式都是n*n的大小  行列式与矩阵的关系：n阶矩阵可以取行列式  行列式与多项式的关系：行列式是不同行、不同列元素乘积的代数和      (每项是n个元素组成的乘积项，这n个元素来自由不同行、不同列；共n!项构成；总结果是一个代数和，各项符号看逆序；) 2.行列式的6个性质：    行与列的变换等价    n阶矩阵转置以后取行列式，行列式值不变    一行乘以某个数加到另外一行，行列式值不变(该性质通常用于化简出多个0，来简化计算行列式的值)    数乘行列式：一行的公因数可以提取(

2、矩阵要所有元素要有公因数才能提取出来)    两行互换，行列式值正负变号    两行相等或成比例行列式值为0    拆分性质(某行或某列的所有元素为2数之和则可拆分)    

3、AB

4、＝

5、A

6、*

7、B

8、，当且仅当A、B都是n阶矩阵 3.行列式的展开公式既可以对行展开也可以对列展开  行列式的展开计算公式思想：将1个n阶行列式转换为n个n-1阶行列式的计算     (实际操作过程中先用行列式性质使得某行或者某列出现较多的0，再按展开公式计算)  行列式的余子式和代数余子式(行列式降一阶)的性质：                        aij

9、与Aij、Mij无关(注意AijMij是行列式或数，而不是矩阵)；                        行列式的展开公式；                        展开公式的aij换成另外一行，行列式值为0的性质(函数代换角度)；                        伴随矩阵与原矩阵的公式(注意：原矩阵按行排列，伴随矩阵按列排列)4.常见行列式的计算：    上三角行列式、下三角行列式、主对角线行列式(特殊的上、下三角行列式)的值(主对角线)    上三角行列式、下三角行列式、主对角线行列式(特殊的上、下三角行列式)

10、的值(副对角线)    范得蒙行列式：大指标减去小指标的连乘积(注：列指标由小到大是左到右，行指标是由上到下)    拉普拉斯展开式(主、副对角线上有0块)    爪型行列式：提取生成1然后变为上下三角行列式    "特征值行列式"及2个重要性质:特征值之和为原矩阵主对角线元素之和；特征值之积为原矩阵取行列式；         (注意：秩为1的矩阵其特征值行列式非常简化)    正交矩阵的行列式为1或－1    5.一个排列里如果大的数排在小的数前面，那么它们构成一个逆序，逆序数为奇数或者偶数则称这个排列为奇排列或偶排列  如果行列式中某项的

11、逆序数为奇数则该项符号为负，如果逆序数为偶数则该项符号为正  计算逆序数的方法有两种：分别计算行排列的逆序数与列排列的逆序数之和；按行或列排列后计算列或行的逆序数 6.行列式部分的注意点：    一个行列式所有代数余子式之和即伴随矩阵内所有元素之和    注意，n阶矩阵可以取行列式，而向量不能取行列式    AB不等，但其行列式可能相等    非0矩阵的行列式可能为0   7.矩阵的实质：是一个表格，是一种便于计算的工具，其内部元素的排列是有序的  矩阵的形状：矩阵的长宽可以不相同  矩阵的用途：用来描述"乘积的和"的式子  两矩阵相等：矩阵

12、内所有相同位置的元素都相同  0矩阵：所有元素为0的矩阵  矩阵与向量：向量是特殊的矩阵(行数或列数为1的矩阵)  一阶矩阵：一个数就是一个一阶矩阵(由行向量乘以列向量得到) 8.矩阵的运算法则：两矩阵相加减：相同位置的元素对应相加减，只对元素个数和行列数都相同的矩阵才有的运算                   数乘矩阵：用数乘以矩阵中每个元素，与行列式数乘不同                   两矩阵相乘(得到的矩阵行数与第一个同，列数与第二个同，第一个矩阵的列数应该等于第二个矩阵的行数)  矩阵乘法与数字乘法不同处：         

13、         没有交换律；即AB不等于BA；                  AB=0不能推出A=0或B=0，两者可能都是非零矩阵；                  AB=AC不能推出B=C，矩阵两端不能约                  常数(一阶矩阵)和E都有矩阵乘法交换律，这是两个特例  矩阵乘法可用的规律：A(BC)=(AB)C＝ABC  结合律                       A(B+C)=AB+AC     (B+C)A=BA+CA分配律                       矩阵乘法没有交换律  矩阵

14、加法的逆用与行列式拆开的不同：矩阵拆开是所有元素都拆，是加法的逆用，行列式拆开是按某行或某列拆开； 9.专题：  几种特殊矩阵的方幂(只有n阶矩阵才有方幂可言，否则