2.3.1双曲线的标准方程

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1、课题:2.3.1双曲线的标准方程【教学目标】:1.知识与技能掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.2.过程与方法教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.3.情感、态度与价值观通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.【教学重点】:双曲线的定义、标准方程及其简单应用【教学难点】:双曲线标准方程的推导【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教具】：多媒体、实物投影仪【教学过程】

2、:一.情境设置复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)问题1：椭圆的定义是什么？问题2：椭圆的标准方程是怎样的？问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？二.理论建构1.双曲线的定义引导学生概括出双曲线的定义：定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<

3、F1F2

4、）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。（投影）概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”“常数小于”

5、数学实验：[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3]拉动拉链（M）。思考：拉链运动的轨迹是什么？思考：1、平面内与两定点的距离的差等于常数2a（小于

6、F1F2

7、）的轨迹是什么？2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于

8、F1F2

9、）的轨迹是什么？3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于

10、F1F2

11、）的轨迹是什么？结论：2.双曲线的标准方程现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的

12、推导（教师使用多媒体演示）（1）建系取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。(2)设点（3）列式由定义可知,双曲线上点的集合是P={M

13、

14、

15、MF1

16、－

17、MF2

18、

19、=2a}.即:（4）化简方程由一位学生板演，教师巡视。化简，整理得：由双曲线定义知这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的是：思考:双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么?学生得到:双曲线的标准方程:.注:(1)双曲线的标准方程的特点：①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上

20、两种：焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)②有关系式成立，且其中a与b的大小关系:可以为(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上定义图像方程焦点a,b,c的关系椭圆的标准方程：（a>0,b>0）三.数学应用例1，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标

21、准方程已知双曲线两个焦点的坐标为解：变式1:若

22、PF1

23、-

24、PF2

25、=6呢？变式2:若

26、

27、PF1

28、-

29、PF2

30、

31、=8呢？变式3:若

32、

33、PF1

34、-

35、PF2

36、

37、=10呢？　　　　练习3、已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点Ｐ1,Ｐ2的坐标分别为　　　　　　　　　，求双曲线的标准方程．练习51.方程mx2-my2=n中mn<0，则其表示焦点在轴上的.2、若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，则kÎ.3.双曲线的焦点坐标是4.双曲线的焦距是6，则k=5.若方程表示双曲线，求

38、实数k的取值范围.四.课堂小结:　（3）类比法焦点在y轴上的双曲线方程是　　　　　　　　　　　　　椭圆的焦点由　　　　　　　　　　　　　　　　　决定双曲线的焦点由　　　　　　　　　　　　　　　决定在双曲线的标准方程中a,b,c,的关系是　　　　　　　　　　　　方程表示双曲线的充要条件是