2.3.1双曲线及其标准方程

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1、英格教育文化有限公司http://www.e-l-e.net.cn全新课标理念，优质课程资源2.3.1　双曲线及其标准方程学习目标◆知识与技能目标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法．◆过程与方法目标（1）预习与引入预习教科书52页至55页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题

2、：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．请同学们思考与探究P52页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？（2）课堂探究（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．把平面内与两个定点，

3、的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为时，双曲线即为点集．（ii）双曲线标准方程的推导过程提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？请大家类比求椭圆标准方程的方法建立直角坐标系．类比椭圆：设参量的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义．类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程．（iii）例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为，，双曲线上一点到，距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．分析：由双曲线的标准方程的定义及

4、给出的条件，容易求出．学习方法报社第4页共4页英格教育文化有限公司http://www.e-l-e.net.cn全新课标理念，优质课程资源补充：求下列动圆的圆心的轨迹方程：①与⊙：内切，且过点；②与⊙：和⊙：都外切；③与⊙：外切，且与⊙：内切．解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆的半径为．①因为⊙与⊙内切，点在⊙外，所以，，因此有，所以点的轨迹是以,为焦点的双曲线的左支，即的轨迹方程是；②因为⊙与⊙,⊙均外切，所以，，因此有，所以点的轨迹是以,为焦点的双曲线的上支，所以的轨迹方程是；③因为与外切，且与内切，所以，，因此，所以点的轨迹是以,

5、为焦点的双曲线的右支，所以的轨迹方程是．例2已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚．已知各观察点到该中心的距离都是．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为；相关点均在同一平面内）．解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方

6、向，以因正东比正西晚，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．如图，以接报中心为原点，正东、正北方向分别为轴、轴方向，建立直角坐标系，设、、分别是西、东、北观察点，则，学习方法报社第4页共4页英格教育文化有限公司http://www.e-l-e.net.cn全新课标理念，优质课程资源，．设为巨响发生点，因为,同时听到巨响，所以所在直线为……①，又因点比点晚听到巨响声，所以．由双曲线定义知，，，所以，所以点在双曲线方程为……②．联立①②求出点坐标为．即巨响在正西北方向处．探究：如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什

7、么发现？探究方法：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程．◆情感、态度与价值观目标通过课件的展示与操作，必须让学生认同：与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面所得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线；必须让学生认同与体会：双曲线的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是两条射线；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和