高中数学压轴题专练

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1、高中数学压轴题&练1、不等式恒成立、有解问题1、已知函数f(x)=ln(Uax)-^L(a>0)(1)当时，求f(x)的极值;a=2(2)若aU(寺，1),f(x)存在两个极值点xi，X2，试比较f(xi)+f(X2)与f(0)的大小>n!(n^2,nWN)(3)求证e【解答】解：(1)f(x)=ln()-寻，定义域哙>0x+2工0解得x>・2,x-2x+2'(x+2)2r(x+2)l即有(・2，2)递减，(2,+8)递增,2心(1-21)aax2-4(1-a)=0,解得x二±%(1f)a故f(x)的极小值为f(2)=ln2-1,没有极大值.(2)f(x)=ln(Hax)(a>0),x>-

2、右a4ax2-4(1-a)1+ax'(x+2)牛(i+ax)(x+2)当OVtVl时，g(t)=2lnti—-2,

3、f(x)=则a(1-a)e(0,寺)^Vl-a2二ln[(1-2a)2]+2a-i~4yi~a-2-/i-a+2Vat2<0f(xQ+f(X2)二ln[l+2“a(l・a)

4、]+ln[：L-2厶(1・孑]-4*4命即f(xj+f(x2)=ln[(1-2a)勺勺犷]12设t=2a-1,当g-g(1)=0,即f(Xi)+f(x2)>f(0)二0恒成立，综上述f(Xi

5、)+f(x2)>f(0)；(3)证明：当OVtVl时，g(t)=2lnt1^--2>0恒成立，即Int-*-^-1>0恒成立，设t二丄(n22,nEN),即In丄+n-1>O,即有n-l>lnn,nn即有l>ln2,2>ln3,3>ln4,n・l>lnn,即有1+2+3+...+(n-1)>ln2+ln3+ln4+...+lnn=ln(2X3X4X...Xn)=ln(n!),则呼">ln(n!),故e~2>n!(n$2,nUN).2、已知函数f(x)二ln(x+l)(a€R)・(1)当a二1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若・1

6、答】解：(I)当a),,1_1_x(x-3)f(X)x+1(l_x)2,x=l)2(x+l)'当-l0,当00恒成立，故0f(0)=0,不符合题意.”a>0吋，由F(x)=0,得』牛好冠X2-空阻2I2I若OVaVl,此时0VxiVl,对OVx0,f(x)>f(0)=0,不符合题意

7、.^Vl-a2二ln[(1-2a)2]+2a-i~4yi~a-2-/i-a+2Vat2<0f(xQ+f(X2)二ln[l+2“a(l・a)

8、]+ln[：L-2厶(1・孑]-4*4命即f(xj+f(x2)=ln[(1-2a)勺勺犷]12设t=2a-1,当g-g(1)=0,即f(Xi)+f(x2)>f(0)二0恒成立，综上述f(Xi)+f(x2)>f(0)；(3)证明：当OVtVl时，g(t)=2lnt1^--2>0恒成立，即Int-*-^-1>0恒成立，设t二丄(n22,nEN

9、),即In丄+n-1>O,即有n-l>lnn,nn即有l>ln2,2>ln3,3>ln4,n・l>lnn,即有1+2+3+...+(n-1)>ln2+ln3+ln4+...+lnn=ln(2X3X4X...Xn)=ln(n!),则呼">ln(n!),故e~2>n!(n$2,nUN).2、已知函数f(x)二ln(x+l)(a€R)・(1)当a二1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若・1),,1_1_x(x-3)f(X)x+1(l_x)2,x=l)2(x+l)'当-l

10、<0或〉3时，f(x)>0,当00恒成立，故0f(0)=0,不符合题意.”a>0吋，由F(x)=0,得』牛好冠X2-空阻2I2I若OVaVl,此时0VxiVl,对OVx0,f(x)>f