专题十一函数与方程文科教师版

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1、专题十一函数与方程【考情解读】1.考查函数零点的个数和取值范围；2.利用函数零点求解参数的取值范围；3.利用二分法求方程近似解；4•与实际问题相联系，考查数学应用能力.【重点知识梳理】1.函数的零点⑴定义：如果函数y=j{x)在实数a处的值等于零，即几z)=0,则。叫做这个函数的零占(2)变号零点：如果函数图彖经过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点.(3)儿个等价关系方程/(Q=0有实数根数y=/(x)的图象与兀轴有交点W数y=/(x)有零点.2•零点存在性定理如果函数y=fix)在区间［g,切

2、上的图彖不间断，并且在它的两个端点处的两数值异号，即几7)〃)<0,则这个函数在这个区I'可上，至少有一个零点.，即存在一点xoG(q,⑵，使.心))=0.3.用二分法求函数/(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间［Q,旬，验证,/(«)/(/7)<0;第二步，求区间(a,b)的中点5；第三步，计算./G)：(1)若人6)=0,则5就是函数的零点；(2)若几必cjvo,则令b=s(此时零•点xoe(a,cj)；(3)若妙/G)<0,则令a=d(此时零点x°w(ci，b))；第四步，判断x()是否满足给

3、定的精确度；否则重复第二、•三、四步.【高频考点突破】考点一函数零点的判断例1、判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)/(x)=x2-3x-18,兀丘［1,8］;(2)心)=10也(乳+2)—x,淀［1,3］.【解析】(1)方法一；/(l)=p-3xl-lS=-20<0,人8)=82-3*8-18=22>0,・“1)火8)<0,故Hx)=E-3x-lS,x€[l：S]存在零点.学科网方法二令.Ax)=O,得x2-3x-18=0,xG[l,8j.xW[l,8]存在零点.・*・(x—6)(x+3)

4、=0,(2)方法一l)=log:3-l>log:2-l=0,r?3)=log^5—3

5、式探究】函数/(x)=2'+3x的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【答案】B【解析】-.7(x)=22+3>0,/.^x)=2x+3x在R上是増函数:.而負一2)=2二一64,N-l)=2P-3cO,X0)=2°=l>0,代1)=2+3=5>0,^2)=2:+6=10>0,・•』一故函数.很)在区间1一10上有零点.学科网考点二函数零点个数的判断例2、若定义在R上的偶函数.心)满足.心+2)=沧)，但当xG［O,l］时，.心)=兀，则函数y=/

6、(x)-og3x的零点个数是【答案】4【解析】由题意知，.“卫是周期为］的偶函数.在同一坐标系內作出函数及y=：os；-Y的图象，如下:观察图象可以发现它们有4个交点，即函数)—/IX)—log：x有4个零点.【探究提高】对函数零点个数的判断方法：(1)结合零点存在性定理，利用两数的单调性、对称性确定两数零点个数；(2)利用函数图象交点个数判断方程根的个数或函数零点个数.【变式探究】函数,A^)=2v+?-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】因^0/(x

7、)=2;2+3x;>0,所以函数貞x)=i+£-2在(0:1)±)1増，且只0)=1+0—2=—1<0,fl1)=2+1-2=1>0,所以有1个零点.学科网考点三二次函数的零点问题例3、己知关于x的二次方程x2+2mx+2m+=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求加的范围;⑵若方程两根均在区间(0,1)内，求加的范围.【解析】⑴由条件，抛物线.心刼+1⑴与x轴的交点分别在区间i-l:0)和门0內，如图〔1)所示，得7(0)=2m+l<0

8、2>0/(l)=4?tz+2<05<>21-21-25-6亡)抛物线与X轴交点均落在区间：Q1)內，如图所示-102x⑵列不等式组7(0)>«/(1)>0A>o0<—m<1./(2)=6m+5>0【探究提高】对二次函数的零点问题，可以采用根与系数的关系和判别式解决；比较复杂的题冃，可利用二次函数的性质结合图象寻求条件.【变式探究】关于X的一元二次方程2祇+°+2=0,当Q为何实数吋：(1)有两不同正根；(1)不同两根在(1,3)之间；(2)有一根大于2,