高考数学考纲解读与热点难点突破专题08三角恒等变换与解三角形教学案(理科)含解析

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1、三角恒等变换与解三角形【2019年高考考纲解读】正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．【重点、难点剖析】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ.tanα±tanβ(3)tan(α±β)＝1?tanαtanβ.2.二倍角的正弦、余

2、弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos22α－1＝1－2sinα.2tanαα(3)tan2α＝1－tan2.3.正弦定理abcsin＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．AsinBsinC变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.asinA＝2，sinB＝bc，sinC＝.R2R2Ra∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.4．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abco

3、sC.222222推论：cosA＝b＋c－a2bc，cosB＝a＋c－b2ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.5.三角形面积公式111S△ABC＝bcsinA＝22acsinB＝2absinC.6.三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan45°等．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋β＝α－β－222α－

4、β等．5.解三角形的四种类型及求解方法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．6.利用解三角形的知识解决实际问题的思路把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.【题型示例】题型一、三角变换及应用【例1】(2018·全国Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，co

5、sα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝.1答案－2解析∵sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②22∴①＋②得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，1∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－，21∴sin(α＋β)＝－2.【变式探究】(1)已知cosπ1＋α＝3sinα＋7π6，则tanπ12＋α＝.答案23－4π7π解析∵cos2＋α＝3sinα＋6，π∴－sinα＝－3sinα＋6，∴sinα＝3sinα＋π＝3sinαcosπ＋3cosαsinπ666333＝2sinα＋2cosα，3

6、∴tanα＝，2－33tanπ－tanπ又tanπ12＝tanππ3－4＝31＋tan4πtanπ343－1＝＝2－3，1＋3∴tanπ12＋α＝tanπtan＋α12π(2－3)＋＝1－tan32－33312tanα＝23－4.1－(2－3)×2－33(2)若2cos2θπ＝3sin2θ，则sin2θ等于()cos4＋θ12A.3B．－321C.3D．－3答案B解析由题意得2cos2θπ＝22θ－sin2θ2cos4＋θ2θ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)＝3sin2θ，2将上式两边分别

7、平方，得4＋4sin2θ＝3sin2θ，即3sin22θ－4sin2θ－4＝0，2解得sin2θ＝－3或sin2θ＝2(舍去)，2所以sin2θ＝－3.【变式探究】【2017山东，理9】在C中，角，，C的对边分别为a，b，c．若C为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A）a2b（B）b2a（C）2（D）2【答案】A【解析】所以，选A.【变式探究】若tanα＞0，则()A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，2)sin20°cos10°－cos160°si

8、n10°＝()3311A．－2B.2C．－2D.21解析sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.2答案D【变式探究】(2015·四川，12)sin15°＋sin75°的值是．6解析sin15°＋