八级数学下册第十八章平行四边形小专题六特殊平行四边形的性质与判定练习(新人教版)

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1、小专题(六)特殊平行四边形的性质与判定1.如图，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE，CG.(1)求证：AE＝CG；(2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．解：(1)证明：∵四边形ABCD，DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝∠GDE＝90°.∴∠ADC＋∠ADG＝∠GDE＋∠ADG，即∠CDG＝∠ADE.∴△ADE≌△CDG(SAS)．∴AE＝CG.(2)猜想：AE⊥CG.证明：设AE与CG相交于点M，AD与CG相交于点N.∵△ADE≌△CDG，∴∠DAE＝∠DCG

2、.又∵∠ANM＝∠CND，∴∠AMN＝∠ADC＝90°.∴AE⊥CG.1.如图，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵CF＝AE，∴BE＝DF.∴四边形BFDE为平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴四边形BFDE是矩形．(2)∵四边形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°

3、.在Rt△BFC中，由勾股定理得2222BC＝CF＋BF＝6＋8＝10.∴AD＝BC＝10.又∵DF＝10，∴AD＝DF.∴∠DAF＝∠DFA.∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB.∴∠DAF＝∠FAB.∴AF是∠DAB的平分线．3．(2018·北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB＝5，BD＝2，求OE的长．解：(1)证明：∵AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA.

4、∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC.∴∠DAC＝∠DCA.∴AD＝CD.∵AB＝AD，∴AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．(2)由(1)知四边形ABCD是菱形，1∴BD⊥AC.∴∠AOB＝90°，BO＝2BD＝1.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO＝AB2－BO2＝2.∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.在Rt△ACE中，点O是斜边AC的中点，∴OE＝AO＝2.4.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一点(不与点A

5、重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM.∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.又∵点E是AD边的中点，∴DE＝AE.∴△NDE≌△MAE(AAS)．∴ND＝MA.∴四边形AMDN是平行四边形．(2)当AM的长为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵AM＝1＝12AD＝AE，∠DAB＝60°，∴△AEM是等边三角形．∴∠AME＝∠AEM＝60°，

6、EM＝AE＝ED.∴∠EMD＝∠EDM＝30°.∴∠AMD＝∠AME＋∠EMD＝90°.∴四边形AMDN是矩形．4.如图1，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)如图2，若BE⊥EC，求证：四边形ABFE是菱形．图1图2证明：(1)∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，11∴∠FAE＝2∠BAE，∠FCE＝2∠FCD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC.∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED.∴∠FAE＝

7、∠CED.∴AF∥EC.又∵AE∥CF，∴四边形AFCE为平行四边形．(2)∵AF∥EC，BE⊥EC，∴AF⊥BE.∴∠AOE＝∠AOB＝90°.在△ABO和△AEO中，∠BAO＝∠EAO，AO＝AO，∠AOB＝∠AOE，∴△ABO≌△AEO(ASA)．∴BO＝EO.∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AFB.∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠EAF.∴∠AFB＝∠BAF.又∵∠AOB＝∠FOB＝90°，BO＝BO，∴△ABO≌△FBO(AAS)．∴AO＝FO.∴四边形ABFE是平行四边形．又∵AF⊥BE，∴四边形ABFE是

8、菱形．4.如图所示，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？解：(1)能说明四边形EHFG是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD