小专题(二)　特殊平行四边形的性质与判定

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1、小专题(二)　特殊平行四边形的性质与判定【例】　(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【思路点拨】　(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用勾股定理可求出AE、BE，进而求出

2、AE、DE，即可求出菱形BFDE的面积．【方法归纳】　证明平行四边形及特殊平行四边形时，通常要先看题中已知条件的特点，然后根据条件选择合适的判定方法加以证明．1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连接BE.求四边形AEBD的面积．2．如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若∠DAB＝60°，AD＝6，AE＝DE，求菱形BEDF的周长

3、．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O.(1)连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；(2)求菱形AFCE的边长．4．E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G.求证：(1)四边形CFEG是矩形；(2)AE＝FG.5．(牡丹江中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求

4、证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．参考答案【例】．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.由翻折得BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°.∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN.∴△EDM≌△FBN(ASA)．∴ED＝BF.又∵DE∥

5、BF，∴四边形BFDE是平行四边形．（2）∵四边形BFDE是菱形，∴∠EBD＝∠FBD.∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝×90°＝30°.∴AE＝BE.由勾股定理得AB＝AE.在Rt△ABE中，AB＝2，∴AE＝，BE＝.∴ED＝.∴AD＝2.∴S△ABE＝AB·AE＝，S矩形ABCD＝AB·AD＝4.∴S菱形BFDE＝4－2×＝.针对训练1.∵AE∥BC，DE∥AC，∴四边形AEDC是平行四边形．∴AE＝CD.在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，B

6、D＝CD.∴BD＝AE.∴四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AC＝5，CD＝BC＝3，∴AD＝＝4.∴四边形AEBD的面积为BD·AD＝CD·AD＝3×4＝12.　2.(1)证明：连接BD，交AC于O.∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.∵AE＝CF，∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形．∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．（2）∵∠DAB＝60°，∴∠DAE＝30°，∠ADB＝60°.∵AD＝6，∴OD＝AD＝3.∵AE＝DE，∴∠DAE＝

7、∠ADE，∠ADE＝∠EDO＝30°.在Rt△DEO中，由勾股定理可得DE＝2，∴菱形BEDF的周长为4DE＝8.　3.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA)．∴OE＝OF.∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．（2）∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝FC.设AF＝xcm，则CF＝xcm，BF＝(8－x)cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠

8、B＝90°.∴在Rt△ABF中，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即AF＝5cm.　4.证明：(1)连接EC.∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，EG⊥CD，∴∠GCF＝∠CFE＝∠CGE＝90°.∴四边形EFCG为矩形．（2）∵四边形EFCG为矩形，∴FG＝CE.又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE＝∠CBE.在△ABE和△CBE中，∴△ABE≌△CBE(SAS)．∴AE＝EC.∴AE＝FG.　5.(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90