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1、精编习题平面向量的方法技巧及易错题剖析1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由C0S8的符号所决定；(2)两个向量的数量积称为内积，写成f今后要学到两个向量的外积aXb,而：怎是两个向量的数量的积，书写时要严格区分•符号“・”在向量运算屮不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替；(3)在实数中，若qhO,且ab=Of则"0；但是在数量积中，若ghO,且ab=0,不能推出因为其中cose有可能为0：(4)已知实数a、b、c(bH0),则ab二bcngCc但是a-b
2、=bc孕a=如右图：a-b-cib
3、cosp=b\0Afbc=b
4、c
5、cosab/10/41■Z?二bc,但qhc；(5)在实数中，有(ah)c=a(h-c),但是(a-h)c^a(h-c),显然,这是因为左端是与c共线的向最，而右端是与a共线的向最，而一般a与c不共线。2.平而向量数量积的运算律特别注意:⑴结合律不成立：玄・0・可工(打)・厂(2)消去律不成立a-b=a-c不能得到b=c-；(3)a-b=0不能得到万二6或S3.向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支冇着广泛的应用，而它具冇代
6、数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与屮学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判乖直；4.注重数学思想方法的教学①.数形结合的思想方法。由于向量本身具冇代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中耍形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识耍点，增强应用意识。②.化归转化的思想方法。向最的夹角、平行、垂肓等关系的研究均可化归为对应向最或向最坐标的运算问题；三角
7、形形状的判定可化归为相应向量的数量枳问题；向量的数量积公式a2=a沟通了向最与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。③.分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量刁在b方向上的投影随着它们Z间的夹角的不同，冇正数、负数和零三种悄形；定比分点公式中的Q随分点1）的位置不同，可以大于零，也可以小于零。（-）平面向量常见方法技巧方法一：强化运用交换律和结合律的意识，活用闭合向量为零向量解题特别对于化简题，应灵活运川加法交换律变为各向量首尾相
8、连，然后再运川向量加法结合律作和。例：化简下列各式：①AB+BC+CA；©AB-AC+BD-CD；④NQ+QP+MN-MP③OA-OD+AD；O结果为零向量的序号为方法二强化运用向量加法法则0~TB.Z（AB+BC）兄w0,7°卩3满足条件OPI+OP2+OP3=0>且IOPII=IOP2I=IOP3I=1,试判断例：已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C）,则心等于（）A.2（AB+AD）2g（0,1）C.2（AB-AD）2g（0,1）答案：A方法三：数形结合思想例:已知向量°R、OP2A
9、PIP2P3的形状。方法四：取特例例：AABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,0H=m（0A+0B4-0C）,贝y实数m=o答案：2方法五：应用la
10、2=a2解题a2=la卩是向量数量积的重要性质之一，它沟通了向量与实数间的转化关系，充分利用这一性质，可以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题。例：已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60。，那么la+3bl等于（D.4A.V7b.V10c.V13方法六：利用数形结合思想解决向量的模、向量的夹角问题例1：已知向量a、b满足31=6,lbl=4,且a与b的
11、夹角为6（）。，求山+bl和la—3bl。方法七：三角形形状的判断方法由于三介形的形状可按角分类也可按边分类，所以这类题常将条件统一用边或介表示后再化简、判断已知平面上有互界的四点A、B、C、D,若（DB+DC-2DA）・（AB-AC）=0，则AABC的形状是A.肓角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形（-）易错题剖析【易错题1】若向量a、b满足关系式la+bl=la-bl,则下列结论小正确的是（）A.以a、b为邻边的四边形是矩形B.a、b中至少有一个零向量或a丄bA.a、b中至少有一个是零向量A.
12、a、b均为零向量答案：B解题思路：(1)当a、b均为非零向量时，由向量加法和向量减法的平行四边形法则可知，a+b与a-b分别是以3、b为邻边的平行四边形的两条对角线。M+bl=la-bl表明这个平行四边形的两条对角线的长相等，所以，以a、b为邻边的四边形为矩形时，"丄b；(2)当a、b屮有零向量时，条件显然满足。综上所述，故选B。错因分析：误区：错选A。思考
