13-14高数AI试卷(a)评析

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1、南京工程学院(⑶⑷高等数学AI试卷(A)一.单项选择题(3*5=15分)1.在X-0时，下面说法中错误的是(D)丄是无穷大.X(A)xsinx是无穷小；(B)xsin丄是无穷小；(C)丄血丄是无穷大;【答】(C)(A)是两个无穷小的乘积,(B)是冇界函数与无穷小的乘积；两者都仍然是无穷小.间摆动,D时,sin丄的值在-1与+1间摆动，总能取值为0(如Mkn时)，丄sin丄的值在—与XXX所以(C)不是无穷人(如图).2.设y=x+lnx,则dy(xfrom-0.1to0.1)(A)圧【答】(B)解法一：利用反函数的求导法则.(B)(C)l+(D)-

2、771解法二：利用隐函数的求导法则.12=1+丄=£±1,则“=丄=丄.dxxxdy乜x+1d7两边对)，求导：1=竺+丄•竺，解得—=—dyxdydyx+13.已知Jd/(x)訂dg(x),则下列式了不成立的是(A)/(x)=g(x)；(B)fx)=gx)；(C)d/(x)=d^(x)；(D)djr(x)dx=d^V)dx.【答】(A)Jd/(x)=/3+G，Jdg(x)=g(x)+C2,f(x)=g(x)+C4.设在[a,h]±.,/(x)>0,/'(x)<0,/x)>0,记=^f(x)dx,s2=/(/?)(/?-tz),h—(1s3=—

3、—[f(b)+f(a)]9则(A)5,

4、解】分子分母同除以兀2345,得【答】27~2lun⑷一3)込+1)1讪xt8r+1rXT8(2X4-1)5ST1X)2

5、=x+o(x3),ex=l+x+——+——+o(x3)，引2!3!»/3・卜0(片)smx-x中■lim=lim—=-1"T0片-XXT0X/3、e--x——+°(兀)23!K注』在加减法运算中随意使用等价无穷小代换是不妥的.本题在分母中用x代换于-1结果就是错误的.当然也不能在分了屮用X代换sinX.2.计算积分J]1+x/T+~Xdx•【解】令+1=t,则x=t2-1,dx=2/dr原式=斤令山=2j(l-占)dr=2r—21nll+"+C=2Vx+T-2ln(l+VTid)+C3.设曲线方程P=r+1+S,nf,求此曲线方程在兀=1处的切线

6、方程和法线方程，并求出空

7、y=r+cosrdxx=l【解】由x=l,得r=0,y=l即切点为(1,1)也=0旦，所以切线斜率为丄，法线斜率为-2dx1+cos/2切线方程：y-l=l(x-l),即x-2y+l=0;法线方程：y-l=-2(x-l),即2x+y—3=0.d2y_d(dy)df_d(1-sinf、dx2d八ck丿心d八1+cosf丿1_sinr-cosr-I(1+cosr)2dz1_sinr-cosr-11+cosx(1+cosr)34.设/(x)=£_v/(2-z)dr,求Z=J*/(x)dx.【解】/=xf(兀)匚-J：/(x)dx

8、=/(!)-珀严)[2-(1)一(一1)血3.设函数f(兀)连续且满足f(x)=ex+Vf(t)dt,求f(x).jo【解】求导,得/z(x)=ex+/(x),即fx)-fM=ex(*)f(x)=e(^x'e"dx+C)=e'(Jdx+C)=ex/(O)=1,C=l,/(x)=ex(x+l)K注》方程(*)是所谓一阶非齐次线性微分方程.一般的一阶非齐次线性微分方程，除了上面的公式解法外,常见的解法还冇常数变易法、积分因了法等等.而木题中的方程又是常系数的，所以nJ以仿照二阶常系数非齐次线性微分方程的解法给出如下解答：(約所对应的齐方程的特征方程为r

9、-l=0,特征根r=l,齐方程通解y=Ce/l=l是特征方程的根，故设特解为y*=Axev,代入原方程得A