2017年衡水中学高考四模(理科)

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2017年河北省衡水市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.1・设集合A={x|x>2},若m=lnee（e为自然对数底），则（）A.0GAB・m年AC・mEAD・{x|x>m}2.已知i是虚数单位，（l+2i）z1=-l+3i,z2=l+（l+i）10,zx>z2在复平面上对应的点分别为A、B,则|AB|=（）A.31B.33C・V31D・V333.下列命题，真命题是（）A.a-b=0的充要条件是£-1B.VxGR,ex>xebC.3x0^R,|xo|WOD.若p/q为假，则p/q为假4.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点作直线交抛物线于P,Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=10,则抛物线方程是（）A.y2=4xB.y2=2xC.y2=8xD.y2=6x5.已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为右图的形状，根据图屮标出的尺寸（图屮大正方形边长为2a）,可得这个几何体的体积是（）A.4ra：：iB・7a3C.2V2a3D.5a36.设％是等差数列{冇}的前n项和，若—4,则学二（）a33出735A•亍B•专C.4D.5oJ7.给出下列四个结论：（1）如图RtAABC中，|AC|=2,ZB=90°,ZC=30°.D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|.以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（心Yi）（i=l,2,・・・，n）,用最小二乘法建立的线性回归方程为?=0.85x・85.71,则若该大学某女生身高增加lcm,则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视.在检验这些学牛眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力； （4）已知随机变量§服从正态分布N（1,a2）,P（§W4）=0.79,则P・2）=0.21；其中正确结论的个数为（） A.1B.2C・3D・4&如图所示程序框图中，输出S二()A.45B.-55C.-66D.66fx+y+4>09.若直线y=3x±存在点(x,y)满足约束条件2x-y+8>0,则实数m的取值范围是()A.(-1,+8)B.[-1,+oo)/缈s/10.已知向量是单位向量；,Y，若；・&0,且+c-2bl=V5,则心+2和的取值范围是C.(-OO,-1)D.(・8,・1)()A.[1,3]B.[»3]C.[‘2^21D.3]11.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1,则圆锥的体积为（）A.nB.2nC.3nD.4r12.已知a,bER,Mex+1^ax+b对xER恒成立，则ab的最大值是（）A.|e3B.孚e3C.警e3D.e3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）2213.已知双曲线-^-^l（a>0,b>0）的左、右焦点为Fi（-c,0）,F2（c,0）,若直线y二2xab与双曲线的一个交点的横坐标为C,则双曲线的离心率为・14.己知一组正数Xi，X2,X3的方差S2=y（X12+x22+x32-12）,贝IJ数据Xi+l,x2+l,Xs+1的平均数为—.15.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃〃布置一项搜寻空投食物的任务.己知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以耍么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有种.（以数字作答） 11.已知函数f(x)对一切实数a、b满足f(a+b)=f(a)・f(b),f(1)=2,(且f(x)恒非零）,数列｛an｝的通项an=f"n)+f(2n)f(2n-l)（nWN+）,则数列｛aj的前n项和二三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・） 11.己知AABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分別为a、b、c.若csinA二頁acosC.（I）求角C；（II）若c二何，_BLsinC+sin（B-A）二5sin2A,求AABC的面积・12.2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价.具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）乘公共汽车方案乘坐地铁方案（不含机场线）10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）6公里（含）内3元6公里至12公里（含）4元12公甲至22公里（含）5元22公里至32公里（含）6元32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示.（I）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（II）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记x为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；（III）小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元，返程吋，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里，试写出s的取值范圉.（只需写出结论）中，AABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，JLB1A=BiC=BiB=AC=2.（I）求证：平而BiAC丄底面ABC；（II）求BiC与平面ABBiAi所成角的正弦值；（III）若E,F分别是线段AiCi，C£的中点，问在线段B]F上是否存在点P,使得EP〃平面 ABBjA]•20.己知抛物线E：y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点K,过点K作圆C：(x-2)2+y2=l的两条切线，切点为M,N,MN(1)求抛物线E的方程(2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且玉•尿寸(其中0为坐标原点)①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值.21.已知函数f(x)=7^—,曲线y二f(X)在点(1,f(1))处的切线方程为x+(e-1)2ybeA-1-e=0.其中e二2.71828.・.为自然对数的底数.(I)求a,b的值；］_k(II)如果当xHO时，f(2x)<—,求实数k的取值范围.e［选修4・4：坐标系与参数方程］23.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为彷为参数).(1)以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；(2)已知A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.［选修4・5：不等式选讲］24.已知函数f(x)=|x+l|-|x|+a.(1)若a二0,求不等式f(x)20的解集；(2)若方程f(x)二x有三个不同的解，求实数a的取值范围. 2017年河北省衡水市高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上…1.故选：C.2.故选：A.3.故选：C.4.故选：C.5.故选：A6.故选：D7.故选：C.(1不止确)8.故选：B.9.故选A.9.【解答】解：因为；込=0,且I；-；+|；-2匸二7^,设单位向量:=(］,o),b=(0,1),c=(x,y),贝!lc~a=(x-1,y),c—2b=(x,y-2),则V(x-1)2+y2Wx2+(y-2)2=V5，即(x,y)到A(1,0)和B(0,2)的距离和为旋，即表示点(1,0)和(0,2)之间的线段，心+2；|刃(x+2)Jy2表示(・2,0)到线段AB上点的距离，最小值是点(-2,0)到直线2x+y-2=0的距离，所以|；+2：|m沪命」最大值为(-2,0)到(2,0)的距离是3,所以c+23的取值范围是［干二3］；故选：D.5□・【解答】解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得AABC及其内切圆O0］和外切圆002,且两圆同圆心，即AABC的内心与外心重合，易得AABC为正三角形，由题意OOi的半径为r二1,•••△ABC的边长为2忑，：.圆锥的底面半径为価，高为3,AV=yX71X3X3=3兀.故选：C.12.【解答】解：若a<0,由于一次函数y=ax+b单调递减，不能满足且e^Gax+b对x^R恒成立，则a^O.若a=0,则ab二0.若a>0,由ex+1^ax+b得blna-1时，f(x)>0,/.函数f(x)递增；・••当x=lna-1时,函数取最小值，f(x)的最小值为f(Ina-1)=2a2-a2lna.设g(a)=2a2-a2lna(a>0),gz(a)=a(3-2lna)(a>0),233由(a)二0得a二弄，不难得到-e7时，gz(a)>0；巳〉訶时，g'(a)<0； 2・・・函数g(a)先增后减，・・・g(a)的最大值为吕(/)二丄J,2121即ab的最大值是—e3,此时a-e2,b=ye2•故选：A.乙二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)12.故答案为：V2+1；13.【解答】解：由方差的计算公式可得：S2=—[(Xi-x)2+(x2-x)?+...+(xn-x)21n=—[xi2+x22+...+xn2~2(X]+x2+・・・+Xn)•x+n昭]二丄[xi2+X22+...+xn2~2nx2+nx2]nn二丄[xi2+x22+...+xn2]-x2=~(Xi2+x22+x32-12)n3可得平均数；二2.对于数据X1+l,X2+I,X3+I的平均数是2+1=3,故答案为:3.14.【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，在其余5人屮，任选1人在大本营陪同，有C5】=5种情况，C?C2剩余4人，平均分成2组，有二1二3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A2~2种情况,此时一共有5X3X2=30种方案；②、Grace参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace—起搜寻近处投掷点的食物，有C52=10种情况，而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况，则此时一共有10X1=10种方案；则一共有30+10=40种符合题意的分配方案；故答案为：40.15.【解答】解：•・•函数f(x)对一切实数a、b满足f(a+b)=f(a)・f(b),f(1)=2,/.f(n+1)=f(n)f(l)=2f(n),・•・数列｛f(n)｝是等比数列，首项为2,公比为2.・・・f(n)=2n.・・・数列UJ的通项a.二卑単兽二笃学二4.・・・数列&｝的前n项和二4n.故答案为：4n.f(2n-l)2三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・)16.【解答】解：(I)VcsinA=V3acosC,由正弦定理可得sinCsinA-^sinAcosC,sinAHO,sinCr/^cosC,得tanC二亠丄TCW(0,n),.IcosC3(II)VsinC+sin(B-A)=5sin2A,sinC=sin(A+B),「•sin(A+B)+sin(B・A)二5sin2A,/•2sinBcosA=2X5sinAcosA, VAABC为斜三角形，・：cosAHO,AsinB=5sinA,由止弦定理可知b=5a(1)由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,・・・21二/+b2-(2)由(1)(2)解得a二5,b=l,Sgc号bsinC二亍X]X5%V3_5V32=412.【解答】解：(I)设事件A：〃此人乘坐地铁的票价小于5元〃,由统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的人数分别为60,40,20人,所以票价小于5的有60+40=100人，故此人乘坐地铁的票价小于5元的频率为號二则乘坐地铁的票价小于5元的概率P(A)二辛；(II)X的可能值为6,7,8,9,10.统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的频率分别为-^-=7；,寸寻T以频率当概率，则P(x=6)44=tp(x=7)P(X=8)4x_64x14xt^P(X=9)p(X=10)ixi=i则X的分布列为:X678910P115114318936则EX=6x{+7x|+8xA-+9x|+10X^=f.(Ill)se(20,22]・13.【解答】解：(I)证明：取AC中点0,连结B]O,BO,VAB±BC,AOB=OA=OC,VAB^BiC,・・.囱0丄AC,又VB1B=AB1,.IABiOA竺△BQB,・・・BiO丄OB,VACAOB=O,・・.％0丄平面ABC,乂VBiOU平面BXAC,二平面BXAC丄底面ABC.(II)解：由已知得AB=BC,0为AC中点，・・・BO丄AC,以OB、OC、OBi分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),Bi(0,0,蔬)，C(0,1,0),A(0,-1,0),AB=(1,1,0),BB[二(-1,0,V3),B&二(0,1,-V3), 设平面ABBA的法向量席二(x,y,z),AB二x+y二0f‘”♦l'取Z二1,"fq-i3=(^/3>91)，n・BB［二-二0设BiC与平面ABBA所成角为9,,—-一iBjC^nl你贝ljsin0=Icos二~-iBjCHInl・・・BiC与平面ABBiAi所成角的正弦值为竿.(III)解：0C］二0C+CC1二0C+BB［二(-1,1,V3),Ci(-1,同理得A(-1,-1,V3)，AAxCi中点E(-1,0,V3)，CCi中点F(-p设乔二入乔，则丽二入(-£,1,半)，+],入,•IP(-专,入,-字X),・•・EP=(-2入),卜1)•近-/§入入二0,・・・入冷，・•・当P是线段B]F中点时，EP〃平面ABBiAx.1,V3),1,Vi220.【解答】(1)解：由己知可得K(-0),圆C：(x-2)2+y2=l的圆心C(2,0),半径r=l.设MN与x轴交于R,由圆的对称性可得|MR|二马2于是CR|MC||MC|丄二1二3,=VMC2-MR2=^l-|=y'即右lCKl=sinZMKC_sinZCMR_y即有2+号二3,解得p=2,则抛物线E的方程为y2=4x；22(2)①证明：设直线AB：x二my+t,A(2J_,y)B(JU,y2),24联立抛物线方程可得y2-4my-4t=0,yi+y2=4m,yiy2=-4t,0?•0B=4，即有Jyiy?二弓，q4q解得yiY2=_18或2(舍去)，BP-4t=-18,解得t二鲁.则有AB恒过定点Q(y,0)；②解：由①可得AB=71+rri2Y?-YiI=Vl+m2e716in2+72^ 同理GD二J1+（一三）2Y2~Yi二屮二^彳埠+池，则四边形AGBD面积S=y|AB|•|GD|l+m2e716m2+72e^14^~*^^+72二4、（2+（M尸»）（85+18（id2-H-^-））,Vinin令m2+^=pi（咱2）,则S二4寸18卩2+121卩+170是关于口的増函数，in则当尸2吋，S取得最小值，且为8&当且仅当m=±l时，四边形AGBD面积的最小值为88.21碍解宀"-吒才’由函数f（X）的图象在点（1,f（1））处的切线方程为x+（e・1）2y-e=0,知1+(e-1)2f(1)-e=0,即f(1)=81be~le~lf(1)=&(be-l-be)(be-1)2-a(be-1)2解得a=b=l.(II)由（I）知f（x）说所以f⑵）占卡V气y1-k=vo,e1OR[xex-(e2x-1)]<0.令函数g(x)=xex--(e2x-1)(XGR),则(x)=ex+xex-(1-k)e2x=ex(1+x-(1-k)ex).①设kWO,当xHO吋，由y=l+x-(1-k)ex.求得导数y/=l-(1-k)ex,求得最大值，可得y<0,即有l+x<(1-k)e即有(x)<0,g(x)在R单调递减.而g(0)=0,故当xe(-°°,0)时，g(x)>0,可得—g(x)<0；e-1当xG(0,+°°)时，g(x)<0,可得2；1g(X)0, g(x)在(Xo，+8)单调递增.而g(0)=0,当x>OI3寸，g(x)>0,可得一g(x)>0,e八_］与题设矛盾，①设OVkVl,存在Xi<00,g(x)在(Xi，x2)单调递增，而g(0)=0,故当0Vx0,可得2；Vg(X)>0,与题设矛盾.e-1综上可得，k的取值范围是(-8,o］.［选修4・4：坐标系与参数方程］23.【解答】解：⑴圆C的参数方程为匸二;爲(。为参数)所以普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.,x=pcos0,y=psin0,可得(pcosO-3)2+(psin0+4)2=4,化简可得圆C的极坐标方程：p2-6pcos0+8psin0+21=O.(2)点M(X,y)到直线AB：x-y+2=0的距离为d上注旦芳西回1兀AABM的面积S=yX|AB|Xd=|2cos0-2“门&+9|二(亍-8)+9|所以△ABM面积的最大值为9+2V2［选修4・5：不等式选讲］〔-1,x0当-lWxVO时,f(x)=2x+1^0,x<0；解得当xMO时，f(x)=1>0,符合题意.综上可得，f(X)20的解集为［圣，+8).所以当x<-1时，f(x)二-KO,不合题意;(2)设u(x)=|x+l|-|x|,y=u(x)的图象和y二x的图象如图所示.易知y二u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y=x的图象始终有3个交点，从而-lVaVO.所以实数a的取值范圉为(-1,0).