2017年江苏省南通市高考数学四模试卷（解析版）

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2017年江苏省南通市高考数学四模试卷一、填空题(共14小题，每小题5分，满分70分》1.已知集合A二{x|VxW1},B二{x|0VxW2},则AUB二・2•设复数z二(2+i)2(i为虚数单位)，则z的共辄复数为.3.根据如图所示的伪代码，当输入x的值为e(e为自然对数的底数)时，贝I］输出的y的值为・ReadXIf耳woThen〉1ElseEndIfPrinty4.甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数为・(选填“甲”或V)5.在AABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,A二75。,B二45。,c二3伍，则b二.6.口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球.先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现"1只白球，1只黑球”的概率为.7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为y=±x,且它的一个焦点与抛物线X?二8y的焦点重合，则该双曲线的方程为・8.已知y二f(x)是定义在(-8,0)U(0,+8)上的奇函数，且当xW(-8,0)时，f(x)=1-2X,则当xe(0,+8)时,f(x)的解析式为f(x)二・9.一个封闭的正三棱柱容器，高为8,内装水若干(如图甲，底面处于水平状态).将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面与各 棱交点E,F,F”Ei分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为3.如图，ZABC中，M是中线AD的中点.若|両|二2,|疋|二3,ZBAC二60。，则囲•丽的值为•1011•已知数列｛务｝中，aFl,a2=4,a3=10.若｛an+1-aj是等比数列，则匸“二・i=l12.已知a,bER,a>b,若2a2-ab-b2-4=0,则2a-b的最小值为・13.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,1)在圆C：x2+y2+2mx-2y+m2-4m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且APBC的面积是APAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为・14.设函数f(x)=(x-a)|x-a|-x|x|+2a+1(aVO,)若存在x0^[-1,1],使f(x0)WO,则a的取值范围为・二、解答题(共6小题，满分90分〉15.已知向量応(sin专*,1),(1,cos寺)，函数f(x)-n(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若f(a-誓)求f(2a+A)的值.16•在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ZBAD二ZADC二90°,DC二2AB二2AD, BC丄PD,E,F分别是PB,BC的中点.求证：(1)PC〃平面DEF；(2)平面PBC丄平面PBD.17.为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG(图中阴影部分)，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图所示).景观湖的边界线符合函数y二X」(x>0)模型，园区服务中心P在x轴正半轴上，P0=£百米.Xo(1)若在点0和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊0M,求0M的最短长度；(2)若在线段DE上设置一园区出口Q,试确定Q的位置，使通道PQ最短.2218.在平面直角坐标系xOy中，椭圆--1(a>b>0)的离心率为e,D为b右准线上一点.(1)若e二"I■，点D的横坐标为4,求椭圆的方程；(2)设斜率存在的直线I经过点P(普，0),且与椭圆交于A,B两点.若玉+丞=0D,DP丄I,求椭圆离心率e. 19•设区间D二[-3,3],定义在D上的函数f(x)=ax3+bx+1(a>0,bER),集合A={a|VxED,f(x)M0}・(D若b二求集合A；(2)设常数b<0①讨论f(x)的单调性；②若b<-1,求证：A=0.20.已知数列{a」的各项均为正数，a^1,前n项和为Sn,且an+12-nX2-1=2XSn,入为正常数.(1)求数列kJ的通项公式；SnJ1(2)记bn—,Cn二亍+—(k,nEN*,k$2n+2)・bndk-n求证：①bncn+1. 2017年江苏省南通市高考数学四模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1.已知集合A二{x|VxW1},B二{x|0VxW2},则AUB二{x|VxW2}【考点】1D：并集及其运算.【分析】利用并集定义直接求解.【解答】解：•・•集合A={x|-10,即可求得y的值.【解答】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y彳:］：；；；的值,当x二e,满足条件x>0,可得：y二Ine二1・故答案为：「3.甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数为_5_・(选填“甲”或“乙”中乙【考点】BA：茎叶图.【分析】根据茎叶图中的数据，分别计算出甲乙的平均数进行比较即可.【解答】解：甲的平均数为+(18+21+29+35+32)二27,乙的平均数为g(19+23+27+33+35)二攀>27,55则平均数比较少的是甲，故答案为：甲4.在ZABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,A二75。，B二45。，c二3近，则b二2忑■【考点】HP：正弦定理.【分析】由三角形内角和定理可求角C,利用正弦定理即可求b的值.【解答】解:二75°,B=45°,c二3迈，AC=180o-A-B=60°,・•・由正弦定理可得：b二csinB二3近X“n45°sinCsin60°故答案为：2a/3.5.口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球.先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸岀1只球，则出现"1只白球，1只黑球”的概率为-【考点】CB：古典概型及其概率计算公式. 【分析】先求出基本事件总数和出现"1只白球，1只黑球”包含的基本事件个数，由此能求出出现"1只白球，1只黑球”的概率.【解答】解：口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球.先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸岀1只球，基本事件总数n二3X3二9,出现"1只白球，1只黑球”包含的基本事件个数m二2X1+1X2二4,・・・岀现4t1只白球，1只黑球”的概率为p=|・故答案为:£・3.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为y=±x,且它的一个焦点与抛物线x~8y的焦点重合，则该双曲线的方程为尊至二1・—22【考点】K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质.【分析】清楚抛物线的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程求解双曲线方程即可.【解答】解：抛物线xJ8y的焦点坐标(0,2),双曲线的渐近线方程为尸土x,且它的一个焦点与抛物线x2二8y的焦点重合，所以双曲线的实轴在y轴，双曲线设为y2-x2=m,m>0,V2ki-2,解得m=2,所求的双曲线方程为：尊三二1・22故答案为：工三二1・224.已知y二f(x)是定义在(-8,0)U(0,+oo)上的奇函数，且当xW(-8,0)时，f(x)=1-2则当xW(0,+oo)时，f(x)的解析式为f(x)=1—-1・2X【考点】36：函数解析式的求解及常用方法. 【分析】利用奇函数的性质f(x)二-f(-X)得出.【解答】解：若XW(0,+oo),则-XW(-oo,0),Vf(x)是奇函数，f(X)二—f(—X)二~；一1,2X故答案为：十-1・3.一个封闭的正三棱柱容器，高为8,内装水若干(如图甲，底面处于水平状态).将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面与各棱交点E,F,F1f&分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为6・【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】设正三棱柱的底面积为S,可得其体积为8S,利用相似三角形面积的关系求得乙图中四棱柱的底面积，得其体积，可得图甲中的有水部分的高.【解答】解:设正三棱柱的底面积为S,则二益.•・・E,F,F19巳分别为所在棱的中点,・•・警斗,即今S,••・Sbcfe=4~s・3••・VBCFE-B1C1F1E1=^4SX8=6S・则图甲中水面的高度为6・ 故答案为：6.3.如图，AABC中，M是中线AD的中点.若|両|二2,|疋|二3,ZBAC二60。,【考点】9R：平面向量数量积的运算.【分析】用爲，疋表示岀就BM,再计算ISBM-【解答】解：TD是BC的中点，二AD三（AB+AC）,—1—••—1—*1—♦2、2”，BEFyBC--^AC~yAB?又M是AD的中点，/.AM-yAEF^AB4^AC,BK-y（BA+BD）二牛ACABAM*^1F（*检+*疋）（*AC_寸75）-AB•••丨忑I二2,|疋|二3,ZBAC二60。,AB?=4,机？=9,AB*AC=2X3Xcos60°=3,•一一393_9••AM•BF-4116-_7?*故答案为：-备.10 3.已知数列｛a」中，a^1,a2=4,a3=W.若｛an+1-aj是等比数列，则工j二31=1 X2n-2n-3【考点】8E：数列的求和.【分析】a2-ai=4-1=3,a3-a2=10-4=6,可得｛an+1-aj是等比数列，an+1-an=3X2nl・再利用a“二a〔+(a2-a,)+(a3-a2)+…+(an-an_!)可得a.,利用等比数列的求和公式即可得出.【解答】解：a2-aF4-1=3,a3-a2=10-4=6,A(an+1-aj是等比数列，首项为3,公比为2..•.an=ai+(a2-a,)+(a3-a2)+…+(an-an_!)二1+3+3X2+…+3X2Z二1+3XL2-1=3X2n_1-2.10则工T3Xi=l2n-l2-1-2n=3X2n-2n-3.故答案为：3X2n-2n-3.o3.已知a,bER,a>b,若2a2-ab-b2-4=0,则2a-b的最小值为—号_・【考点】7F：基本不等式.【分析】a>b,2a2-ab-b2-4=0,可得(2a+b)(a-b)=4.2a-b#[(2e+b)+4G-b)],利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解：・・・a>b,2a2-ab-b2-4=0,.・.(2a+b)(a-b)=4.11g则2a-b=y[(2a+b)+4(a-b)]X2j(2ai+b)・4(a-bFg,R9当且仅当2a+b二4(a-b)二4,即a=y,b二彳时取等号.・・.2a-b的最小值为号・故答案为：号・ 3.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,1)在圆C：x2+y2+2mx-2y+m2-4m+1=0 内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且APBC的面积是APAC的面积的2倍,则实数m的取值范围为［£,4)・【考点】J5：点与圆的位置关系.【分析】由点P(0,1)在圆C内，得00）模型，园区服务中心P在x轴正半轴上，P0二寻百米.（1）若在点0和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊0M,求0M的最短长度;（2）若在线段DE上设置一园区出口Q,试确定Q的位置，使通道PQ最【考点】KE：曲线与方程.【分析】⑴设M（x,x」），利用距离公式得出|OMf关于x的函数，利用基本不等式求出最小值即可；（2）当直线PQ与湖边界相切时，通道最短，设出切线方程，与边界函数联立，令△二0即可得出切线方程，从而确定Q点的位置.【解答】解：（1）设M（x,x+^-）,则10M|?=x2+（x』）2=2x2+2+22V2+2,XXX当且仅当2x2="V即X』］时取等号，X厶・•・IOM|的最短距离为"2>/2+2.(2)过P作函数y二x」的切线I,设切线I的方程为y二k(x-|)(kVO),y=k(x~Y)联立方程组丿=，得(1-k)X?青x+1二0,y=x+—X令厶=-yk2-4(1-k)二0得k二-3或(舍)，二直线I的方程为y=-3(x-y),令y=5得x--~, 11756*・••当|DQ|二乎时，通道PQ最短.2218.在平面直角坐标系xOy中，椭圆&卩戶(a>b>0)的离心率为e,D为abZ右准线上一点.(D若e二寺，点D的横坐标为4,求椭圆的方程；(2)设斜率存在的直线I经过点P(晋，0),且与椭圆交于A,B两点.若玉+亦-ODjDP丄I,求椭圆离心率e.【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的简单性质.「12【分析】(D由椭圆的离心率e亠令，a二2c,准线「4,即可求得a和c,则aZc b2=a2-c2=3,即可求得椭圆方程；(2)方法一：设直线I的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运2算，即可求得D点坐标，由D的横坐标为十，即可表示出D点坐标，即可求得直线PD的斜率，由kpDkAB=-1,即可求得a和c的关系，即可求得椭圆离心率方法二：设D点坐标，求得直线PD的方程，利用点差法及向量的数量积，即可求得直线AB的斜率，由kpDkAB--1,即可求得a和c的关系，即可求得椭圆离心率e.2【解答】解：(1)由椭圆的离心率e二三二斗，贝IJa-2c,①椭圆的右准线方程X』,azc2由卫~=4,贝a-4c,②，解得：a二2,c=1,cb2=a2-c2=3,22・•・椭圆的标准方程：三-+牛二1;(2)方法一：设直线AB的方程：x二my+诗，A(xny)B(x2,y2),f_丄3x=my+—a37'4,整理得：(a'+b'm?)y2-n—'ab2my--rra2b2=0,999299Zlbx^+azy-azbz=Oy〔+y2二_30泌102(a2+b2in2)'则x1+x2=m(yi+y2)3“2(/+k/n/)由乔丽遍则乔(x,+x2,y“)=(2(齐£2)38b?iTI)2(a2+b2m2)3a3则叫(/+凤2)'2亠，整理得3ac二2c3a3总話)，由D在椭圆的右准线上，则2冷2从2)(a2+b2m2),b2m4/叩4a2~3ack2bin(则直线PD的斜率一且3ac4 4b*12m由DP丄I，则-2-_整理得4b2=4a2-3ac,即3ac二4(a2-b2)=4c2,4a-3ac则3a二4c,・•・椭圆的离心率e二今,aq椭圆离心率e的值为丰・方法二：设D(£y),P(晋，0),则直线DP的斜率k沪；孑0C4—4cyC苧一仙22设A(x,,yi),B(x2,y2),由玉+正二迪，贝lj「l2+x2-~Zc小+卩2二y则・22u/b292,两式相减，整理得：xf掳xl_x24+4=1ab^1-^2_b2xl+x2a2yi+y?acy・・・直线I的斜率cy・・・DP丄I,则kpokAB=-1,4cyk2 ②若b<-1,求证：A二0.【考点】6B：利用导数研究函数的单调性.【分析】(D把b二+代入函数解析式，求出导函数，由厂(x)二3a，+>0,可知f(x)在［-3,3］上为增函数，求出函数的最小值，由最小值大于0求得a的取值范围；(2)①求出函数的导函数，解得导函数的零点，然后根据J吉与3的关系分类求得函数的单调区间；②当b<-1时，由①可知，当0VaW寺r时，f(x)在［-3,3］上单调递减，求得函数的最小值小于0,这与VxED,f(x)20恒成立矛盾，故此时实数a不存在；当a>一寺时，由①可得f(X)min={f(-3),f(J^)}，若f(-3)=-27a-3b+1<0,这与VxeD,f(x)$0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；若f(-3)=-27a-3b+1>0,证明f(J丐)<0,这与VxED,f(x)NO恒成立矛盾，故此时实数a不存在.【解答】(1)解：当b二+时，f(x)=axJ-x+1,f7(x)=3ax2+^~>0,・・・f(x)在［-3,3］上为增函数，则f(x)min=f(-3)=-27a-y+l=y-27a・由g■-2沧》0,解得a〈吉・/.A={a|VxED,f(x)20}二(0,占］;(2)①解：f(x)=ax3+bx+1,(x)=3ax2+b,Va>0,b<0,・•・由(x)二3ax'+b二0,得/二寺>0,则X二・若27a+bW0,则J召》3,则F(x)W0在［-3,3］上恒成立，f(x)在［-3,3］上为减函数;哙)U,3］时"(x)>0,若27a+b>0,则当xE［-3, ・••函数的增区间为［-3,护;),(令，3］,减区间为(-②证明：当b<-1时，由①可知，当0VaW寺时，f(x)在［-3,3］上单调递减,/.f(x)丽二f(3)二27a+3b+1W-b+3b+1二2b+1V-1VO,这与VxED,f(x)MO恒成立矛盾，故此时实数a不存在；当玄>-守时,2)在［-3,-蔬)，(再,3］上递增，在(-底’任)上递减，•'•f(x)min二｛f(-3),f｝，若f(-3)=-27a-3b+1<0,这与VxED,f(x)$0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；若f(-3)=-27a-3b+1>0,令口二此时f3)=ax13+bx1+l.又(xj二3aX］-+b=0,贝1］自口'二¥・f(Xi)二宫X]'+bx]+1二X](£)+bx]+1二丰F面证明忌*0,也即证仙>27a,•・・a>-寻，且一27a-3b+1>0,即27a<-3b+1・再证-4b3>-3b+1,令g(b)=4b3-3b+1,则gz(b)=12b2-3>0(b<-1),・・・g(b)在(-co,-1]±单调递增，则g(b)Cn+1・【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和.【分析】(1)a2n+l-nX2-1=2XSn,入为正常数.可得：nM2时，恋-(n-1)入2一1二2入Sn_i・相减化为:an+1-an-入.n二1日寸,入'一〔二2入,角军得a2-入+1,因此引-幼二入.利用等差数列的通项公式可得：务二1+入(n-1).⑵①由(1)可得：sMRyT)].可得b”=|兮(nl山亠)'作差S+1-S,化简即可得出・②Cn=p~+,(k,nWN*,k$2n+2)・作差昭-C.二--bnbk-nbk+l^k-mlbkbk-n二可利用其单调性即可得出.^k-n-lDk-nbn^k+1【解答】⑴解:Va2n+1-n入2-1=2XSn,入为正常数.An^2时，孟-(n-1)入I二2入s_・.*.a2n+1-nX2-a^+(n-1)入2-2入an.化为:an+1-an-入.n=1时，a号■入--1二2入，解得a2-入+1,因此^2~ai-入.•・・数列｛务｝是等差数列，公差为入.an=1+入(n-1)・(2)证明：①由(1)可得：S”=n[2+身n-1)】..._?n_n[2+入(n-l)]_1(n、…bn"an■2[1+X(n-1)]"¥EW入)'h_l.__1_「1丄n+]_门-I__L.n(n-l)入，+(2n-2)入+2、nn+1"2L1^n+1"X(n-l)+lJ"2(入n+1)[入(门-)+1]・・bn+1>bn・②TCn二4"+^^,(k,nWN*,k$2n+2)・dndk-n .-1.1丄■■Cn+i_Cn—C^0~C~Cbk+lVrrlbk _一弧+1|^n^rd-1^k-n-1^k-n1111—■_■^f-Ibk-nSnbk+l•TkN2n+2,n+10,AOC”1・2X(-—)=-1,整理得4b2=4a2-3ac,即3ac=4(a2-b2)=4c2,则4a-3accy3a二4c，・••椭圆的离心率e=—=-y,a4椭圆离心率e的值为弓.419.设区间D二[-3,3],定义在D上的函数f(x)二ax'+bx+1(a>0,bER),集合A二{a|VxWD,f(x)N0}・(1)若b二求集合A；(2)设常数bVO①讨论f(x)的单调性；