高考（新课标）数学（理）一轮复习教师用书：§2.3 函数的奇偶性与周期性含解析

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1、§2.3函数的奇偶性与周期性三蚯考点梳理—多思鲂笔夯实基础»1.奇、偶函数的概念⑴偶函数一般地，如果对于函数.心)的定义域内任意一个X,都有,那么函数.心)就叫做偶函数.(2)奇函数一般地，如果对于函数.心)的定义域内任意一个x,都有,那么函数./W就叫做奇函数.2.奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图彖关于对称.3.具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件.4.周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数./W，如果存在一个T,使得当x取定义域内的值时，都有，那么函数/(x)就叫做周期函数

2、.卩叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期惭数/(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个最小正数就叫做./(X)的最小正周期.5.函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数.心)为奇函数，且在［a,b］上为增(减)函数，则沧)在［一乩一切上为;(2)若函数.心)为偶函数，且在［a,b］上为增(减)函数，则心)在［―b,—a］上为•6.奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇士奇=,偶士偶=,奇><奇=,偶乂偶=,奇X偶=•7.函数的对称性如果函数,/W，x^D,满足▽xWD恒有./(a+x)=/(b—x),那么函数的图彖有对称轴兀=宇；如果函数./«,x^D,

3、满足恒有/(a—x)=—/(b+x),那么函数的图象有对称中心(字，0)8.函数的对称性与周期性的关系⑴如果函数.心)(xWD)在定义域内有两条对称轴x=b(a

4、.原点对称原点对称必要不充分4.(1)非零常数每一个fix+T)=f(x)(2)最小5.(1)增(减)函数(2)减(增)函数6.奇偶偶偶奇基础自测小易全活牛刀小试»<►(2015•广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.y=x+eB.y=x+~C.y=2x+^D.y=yji+x2解：令/U)=x+e",则/l)=l+e,X-l)=-l+e_，,有1)HO,・J=x+e''既不是奇函数也不是偶函数，而选项B,C,D中的函数依次是奇函数，偶函数，偶函数.故选A.A人[H+l,X>0,❷(2014-福建)已知函数沧)=”则下列结论正确的是()cosx,xW

5、O,A..心)是偶函数B..沧)是增函数C.f(x)是周期两数D.久对的值域为[一1,+«>)解：由./(X)的图象易判斷.心)不是偶函数，不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[一1,+8)・故选D.❸(2014•湖南)己知./(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且Ax)-g«=?+x24-l,则人1)+g(l)=(A.)B.-1-3c.解：得./(l)+g(l)=l•故选c.<►(2014•四川)设/(x)是定义在R上的周期为2的函数，当xE[—1,1)吋，/(x)=D.3—X”代替“兀"，得f{—X)—g(—.¥)=(—X)3+(—X)2+1,化

6、简得f[x)+g(X)=—.04~X2+1,令X=1,-4x2+2,—1Wx<0,00V1,X,则眉)==—4X+2=1.故填1.解述❺若函数./(x)=xln(x+7^口)为偶函数，则实数a=解：•・•函数./⑴是偶函数，二心)=/(一力，即x(x+y[a+^)=—x(—x+yja+x2)f.x+la+)r=,得a=.故填1.—x-ryja-rx典例解村分类解析触类旁通»类型一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性:(l)/(x)=(x+l)(2)/W=

7、—x2+2x+1»x>0,[x2+2x_1,x<0；(1)/«=(册)=心一1+寸1_”；(5)/

8、Cx)=k)g“(x+V?+l)(a>0且qHI).

9、—y解：(1)定义域要求匸匚20,・・・一1VxW1,.••A-x)的定义域不关于原点对称，・・・./(x)不具有奇偶性.(2)解法一(定义法)：当x>0时，f(x)=—x2+2x+1,—xVO,/(—x)=(—x)2+2(—x)—1=/—2x—1=—/(x);当xVO时,/(x)=x2+2x—1,—x>0,A-v)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=一/(x).・・・冷)为奇函数.解法二（图象法）：作出函数.心）的图象，由图象关于原点对称的特征知函数几工）为奇函数.4一宀0,（3）・屛・・・-