2014版高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性 理 苏教版

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1、2.4函数的奇偶性与周期性一、填空题1．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.解析　f＝－f＝－f＝－2××＝－.答案　－2.设函数为奇函数,则a=.解析由函数为奇函数得到f(0)=0,即0.所以a=0.答案03．设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(－1)＝－1，则f(2011)＝________解析　因为f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，f(－1)＝－1，所以f(1)＝1，f(2011)＝f(3×670＋1)＝f(1)＝1.答案　14

2、．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x，则f(－9)＝________.解析　由题意，得f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(－4－x)，所以f(－9)＝f(－4＋9)＝f(5)＝－f(－5)＝－f(1)＝－2.答案　－25.若y=f(x)是奇函数,且在内是增函数,又f(3)=0,则xf(x)<0的解集是_______.解析因为f(x)在内是增函数,f(3)=0,所以当03时,f(x)>0.又因为f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,

3、所以当-30;当x<-3时,f(x)<0.可见xf(x)<0的解集是{x

4、-3

5、-3

6、≥－2a恒成立，得t≥2；t＜0时，由t≤－2a恒成立，得t≤－2.综上，得t≤－2或t＝0或t≥2.答案　(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)7．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝________.解析由题意得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(7.5)＝f(7.5－8)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.答案－0.5　8．已知函数f(x)＝log4(

7、4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数，则k的值为________．解析　由f(－x)＝f(x)，得log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，即2kx＝log4－log4(4x＋1)＝log4＝－x，所以k＝－.答案　－9．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)＜f(lgx)的解集是________．解析　因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(

8、x

9、)，于是由f(－1)＜f(lgx)，得f(1)＜f(

10、lgx

11、)，又由f(x)在(－∞，0)内单调递减得f(x)在(0，＋∞)

12、内单调递增，所以有

13、lgx

14、＞1，即lgx＜－1或lgx＞1，解得x＜或x＞10.答案　∪(10，＋∞)10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜－的解集是________．解析　若x＞0，则由f(x)＝1－2－x＜－，得x＞，这与x＞0时，x＜1矛盾．若x＜0，则由f(x)为奇函数，得f(x)＝－f(－x)＝－1＋2x＜－，得2x＜＝2－1，解得x＜－1.答案　(－∞，－1)11．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上

15、是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．解析　∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的函数，①正确．又∵f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(2－x)，∴y＝f(x)的图象关于x＝1对称，②正确．又∵f(x)为偶函数且在[－1,0]上是增函数，∴f(x)在

16、[0,1]上是减函数．又∵对称轴为x＝1，∴f(x)在[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．答案　①②⑤12．函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)g(－x)＝1，且当x≠0时，g(x)≠1，则F(x)＝＋f(x)的奇偶性为________．解析　因为f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝，所以