《微积分教学资料苏德矿》4（135-152）

《《微积分教学资料苏德矿》4（135-152）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第三章一元函数积分学考研大纲要求了解反常积分的概念。会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分，求积分上限的函数的导数，计算反常积分。理解原函数概念，不定积分和定积分的概念，积分上限的函数。掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，换元积分法与分部积分法，牛顿一莱布尼茨公式，用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、斥力)及函数的平均值等.一、内容精要(-)基本概念定义3.1设/(x)在

2、区间I上有定义，若存在一个可微函数F(x),使得对一切xe/,都有F©)二/(兀)，则称F(x)M/*(x)在区间/上的一个原函数。定义3.2若/(x)在区间Z上存在原函数，则/(x)在区间/上的全体原函数称为/(x)在区间I上的不定积分，记作J/(%)&.(二)重要定理与公式定理3.1若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则/(.巧在区间I的全体原函数为J/(x)d^=F(x)+C,CeR.C是常数.注：根据定义可知求出的F(.r)的定义域至少要与/(x)的定义域一样。基本积分表(略)注：从不定

3、积分表中可看出，求岀不定积分形式可以不一样，如何验证所求不定积分的正确性,只要把所求的不定积分求导看是否为被积函数即可.不定积分性质性质1性质22Jdf(x)=/(x)+C或J广⑴必=/(x)+c.性质33若的原函数都存在，则(i)[f(x)±g(x')]dx=注1：从性质2可知不定积分是导数的逆运算，正是利用这一性质，寻找哪个函数的导数为/（X）,则这个函数就是/（X）的一个原函数注2:性质2告诉我们求不定积分的一个方法，即如何把J/（兀）dx表示成JdF（x）形式，实际上就是f{x）dx=dF（x

4、l这正是微分的逆过程，从而可以利用我们所学的微分基本公式，微分的四则运算，尤其是一阶微分形式不变性，把f（x）dx写成dF（Q形式从而求出了/⑴的不定积分。1.凑微分（第一换元法）,H若/0）的原函数F（“）存在f（（pM）（px）dx=/（0（兀））〃0（力设似＞）二u畑du利用一阶微分变dF（u）=dF（（p（x）知F（0（x））是/（讽功0（兀）的一个原函数，由分析过程可知定理（凑微分）设F'（u）=f（u）9u=卩（兀）可导，则jf((p(x))(px)dx=jf((p(x))d(p(x)

5、令0(x)=iiJf(u)du=F(u)+c=F(0(x))+C注：给一个不定积分要想运用凑微分，关键是能否把被积表达式g（无）心表示成/（0（x）0⑴dx的形式，并且要求f（u）的原函数能求出来，在具体运用此定理时,一般不引入中间变量u（如果/⑺）的原函数直接求不出来就需要引入中间变量），而直接写出结果，即Jg（x）dx=jf（（p（x））（pXx）dx=j=F（（p（x））+c.6.xdx=^d(x2±a2)7.—dx=dxx为了熟练运用凑微分，记住下列微分关系是必要的（其实就是求原函数）.1.

6、dx=—d（ax+b）（a0）a2.xdx—_兀~）3.—y=dx-Vx=2d4x&exdx=dex4.sinxdx-=-dcosx9.cosxdx=dsinx5.亠dx-darcsinx10.1,dx-darctanxVi-%21+%1.变量代换法由一阶微形式的不变性知/（兀）/工若兀=0（f）可微/（0（/））d0（/）二若/（0（/））0‘a）有原函数F⑴处⑴若无=处）严格单调、dF（0'⑴）,知F（0t（力）是f（兀）的一个原函数,由此得定理（变量代换法）若x=（p®严格单调，可微，且FQ）=/

7、（0⑴）0（。，则jf（x）dx=F（（p-'（x））+c用变量代换求不定积分的具体步骤是JMQdx令X二0⑴可导H（p（t»l（p⑴=/（处））0⑴有原函数F（f）F（z）+Ct=（p~[（x）F（（p-[（x））+c变量代换适合被积函数中含有根式且不能直接求出，也不能用线性运算法则或凑微分求出时，则需用变量代换，目的是为了去掉根号，一般来说，当被积函数中含有22一令x=°secf,fw0,兰（艺，兀，彳严+?，令』处+?=/,解得兀=0（/）,令兀=°⑴2丿2」cx+dYcx+d变量代换不仅适合

8、于去根号，只要通过变量代换能求出原函数都可以用。1.分部积分定理（分部积分法）若u=u（x）,v=咻）均可导，且Ju'（x）咻皿存在,则Ju（x）v{x）dx也存在，且在具体运用这个公式时，关键是把被积函数表示成U（X）vM的形式，而且目的是要把讽兀）转化，从而转化为求不定积分卜（无）/（兀）心分部积分适合下列情形，当几（力是％的n次多项式时，1.["""力°,dx=[pn（兀）〃—严（a工0）.2.Jpn(x)sin(t?x+b)dx=f