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《《微积分教学资料苏德矿》10（368-370）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第七章级数考研大纲要求TA?任息项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛®条件收敛的关系，函数项级数的收敛域及和函数的概念，幕级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），函数展开为泰勒级数的充分必要条件，傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理.会用根值判别法，求一些幕级数在收敛区间内的和函数，由此求山某些数项级数的和，将定义在［-L,叮上的函数展开为傅里叶级数，将定义在［0,L］上的函数展开为正弦级数与余弦级数，写出傅里叶级数的和的表达式.SB解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，幕级数的收敛
2、半径的概念、收敛区间及收敛域的概念.掌握级数的基木性质及收敛的必要条件，几何级数与p级数的收敛与发散的条件，正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，交错级数的莱布龙茨判别法，幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，sinx.cos兀、ln（l+X）及（1+X）“的麦克劳林（Maclaurin）展开武，会用它们将一些简单函数I'可接展开成幕级数.一、内容精要（一）基本概念定义7.1设仏｝是一个给定的数列，按照数列下标的顺序把数列的项依次相加得到的形式上的co和均+况2+•••+/•••，称为数项级数或简称为级数，记为工叽.n=］
3、设$”=冏+肚2+•••+/，称为级数得地n个部分河，且广A（常数）时，称£如收敛，且£如二A；若二A不存在，称丈如发散.n====oooacooo定义7.2设工血为一般级数，若收敛，称工知为绝对收敛，若为
4、知
5、发散，但工知收敛,n=ln==ln=l则称£叫为条件收敛。对一般级数需要判断是绝对收敛，是条件收敛，还是发散。n=l（-）重要定理与公式1.收敛级数的性质性质1（线性运算法则）若级数匕均收敛，且$>”==B,则对任何常数?2=1n==l”二100888a,0,工（cain+0i;）均收敛且为（w+0
6、气J=a工〜+0艺乙•〃=1w=1n=w=1性质2—个级数改变它的有限项式或去掉前面有限项或在级数前面添加有项得到的级数收敛性不变。注：有了这个性质，我们下面关丁级数收敛性定理中的条件，若耍求从第一项具有某种性质，可减弱为从某一项以后具有该性质，结论仍成立。性质3（收敛级数的结合性）若级数£知收敛，则在级数中任意添加括号所得到的新级数«=1也收敛，其和不变，反Z不成立。0O注1:前提是级数收敛，否则结论不成立。例如级数为（一1）宀=1一1+1-1+・・・+（-1）心+…是发散，加括号后得到的级数（1-1）+（1-1）+…+（1
7、-1）+…是收敛的。这个例子也是性质3逆命题的反例。注2：正项级数（即un>0）的收敛性与添加括号以后的级数具有相同的收敛性，若收敛其和相等。性质4（收敛的必要条件），若£知收敛，则=」”=（），反之不成立。/:=1Ig1例如=但工丄发散.nW=1n推论（逆否定理）若黑£（存在）工0或覽丿”不存在，则£知发散。7!=1例如£（_1）“T,£昕,£（_1）I肩n==]n=由于暮（Th不存在，伫8诉=1北0,豐8（-1）1徧=00,所以上面二个级数均发散.1.两个重要的级数81（1）P—级数工——（P为常数），当P>1时，该级
8、数收敛（但和不能用一个具体的式了表示出心nf）来），当P<1时，该级数发散。（.2）儿何级数（等比级数）乞呵（q为常数），当冋<1时，该级数收敛，其和为/:=0亠，当问空时，该级数发散。1一纟2.判断正项级数收敛性的定理定理7.1正项级数工知收敛的充要条件是：正项级数的部分和Sn有上界，即3M>0,对一n=切自然数n,都有Sn/V0时，n=ln=£S有05co(1)若工叫收敛，则工知收敛，即两个正项级数人的收敛，小的也收敛，反之不成立。n=
9、n=1oooo(2)若为知发散，则工乙发散，即两个止项级数小的发散，大的也发散，反Z不成立。n=ln=l比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法，给定一个正项级数，若用比较判别法判断其收敛性，则先通过观察，若它可能收敛，然后需耍找到一个止项级数gOQCO工叫，使unNo)收敛，则工知收敛，如果通过观察，它可能发散，则需婆找到一n==lh=1个正项级数£v?1，使血>l，”(n>No)且£发散，则£un发散。n==ln=l只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活运用，才能熟练掌握比较判别法。推论7.2.1(
10、比较判别法的极限形式)设均为正项级数，并且=I,(1)当0vZv+oo即如~他(即仇是知的等价量)时，两个级数具有相同的收敛性；(2)当/=0时,若$>」攵敛，则£如收敛，反之不成立。n=1/:=1oooo(3)当心+oo时,若》>“发散，则工知发散，反Z不成立
