《微积分教学资料苏德矿》2（59-90）

《《微积分教学资料苏德矿》2（59-90）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第二章一元函数微分学考研大纲要求Tft?导数的物理，逬义，微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，高阶导数的概念，柯西中值定理，曲率、曲率圆©曲率半径的概念会求平面曲线的切线力•程和法线力•程，用导数描述一些物理量，求函数的微分，求简单函数的高阶导数，求分段函数的导数，求隐函数和由参数力程所确定的函数以及反函数的导数，用柯曲中值定理，用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间（Q0）内,设函数/（兀）具有一•阶导数。当fx）>0吋,/（兀）的图形是凹的;当fx）<0吋,/co的图形是凸的），求函数图形的拐点以及水平、铅也和斜渐近线，描

2、绘函数的图形，计算曲率和曲率半径.3IW导数和微分的概念，导数与微分的关系，导数的儿何意义，函数的可导性与连续性Z间的关系，罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，函数的极值概念，掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，用罗尔定理、拉格朗口中值定理和泰勒定理，用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，函数最大值和最小值的求法及其应用.第一节导数与微分一、内容精要（一）基本概念1.导数的概念导数概念的实际背景是曲线上一点切线斜率与质点作变速直线运动在某时刻的瞬时速度.定义2.1设函数y=f（x）在点xo的某邻域U

3、（xo）内有定义,若极限lim心TOAy=lim/do+心)一/(无))Jim/(x)-/(x(JAx心"Fx-x.存在，则称f（x）在点X。可导，并称此极限值为f（x）在点X。处的导数（或微商），记作若极限不存在,lim心tO数可导dx”，即霊金+山）-金）★⑷Ax则称函数y=f（x）在点&不口J导丄=广（心）用于涉及己知抽象函数可导，证明其它结论或□知其它条件，证明函Ax器*./（心+AJ—./（首））=广（北）用于利用定义求函数的导函数limXT心Ax」⑴7代）=广（北）用于求函数在一点的导数兀一兀0特别匸0凡"《））=A（常数）

4、=f（0）,若/•（（））=0,则匸。山=A（常数）=广（0）•AA反之若匸。虫二A（常数）且fh）在沪0处连续，则/（0）=A事实上，由t（M=0知豊。/（0=0=/（0）,利用上血结果知结论正确。注4要弄清导数定义的木质。即（1）若ITCI（日可以是常数，可以是汽+8或—oo）时，有0（7）tO（0（/）从0两侧趋于0）,limi->a祇+呷-张）=力（常数）加）则n>）在尸禺处可导且f（禺）二扎lim祇+呷”）设加卜心w）limAxtO/（兀0+心）-/比）Ax=A（常数）=广&0）。（2）若ZTG（Q可以是常数，可以是oo,+a

5、或—oo）时，0（/）T心（0（z）从弘两侧趋于必）,且工/（唄-/Go）=a（常数）,则g在尸加处可导且/（血以0（/）_兀0证饗瞥-曲设沁）"工血皿=a（常数卜f（小定义2.2若lim—=lim/U+Ar）-/U）=lim=a（常数）y仇）mt（tAxaxt（f△%兀t坯x-xQ—称为f（x）在尸心处的左导数，定义2.3lim冬=lim他。+心）-沧。）=h加）-曲"（常数）”+仇）Av->o*Ay山to+At兀->瑞x—x0~称为f（x）在尸乂处的右导数.定理2.1fx.）=Ao广_（托）=人且广+（忑）=A.这个定理是判断在分

6、界点X。两侧表达式不同的分段函数在&处是否可导的一种方法。例弘）屮片5"⑴，无>兀0・]im/&）_/（%（J=lim处）-祇）KT.石X-XQXT石X-Xolim"）7仇）=lim也沁（2）XT々；X-X｛）Xfr；X-X^若（1）（2）两式的极限存在且相等，则fd）在庐/处可导，否则在尸顶处不可导若y（x）=/^[g,x=*o，研究/tv）在沪Ab处是否可导就不必用左右导数的定义，只须用导数定义limXWo/&）-/（%）=lim0（x）-dx-x（｝XTX。X-X（｝XTX。如果（3）式极限存在,则f（X）在A=Tu处可导，否则f

7、（%）在X=Xo处不可导o（3）几何意义若/（Ab）存在，则于5）表示曲线.尸£3上点（兀0,/（儿））处切线的斜率且切线方程为y-/（如）=/'（兀）（兀-如）；法线方程为y-fM=（X-无0）Cr（勺）Ho）。若f（矗）二0,此时切线方程为J=/'（Ab）,法线方程为A=Too定理2.2若fd）在禺处可导，则巩力在必处连续，反之不一定。例如/'（A）=Ix在尸0处连续，但在尸0处不可导。逆否定理2.3若f（x）在总处不连续，则代方在朋处不可导。这个定理为判断在弘处是否可导提供了一个简便方法：如果fd）在尸/处极限不存在或不连续，则

8、fd）在尸必处不可导，就不必用导数定义去验证了。（4）若f®）在区间X上每一点都可导，即色WX,%/（兀+心）_/（兀）=广（对按函数定义知fd）是区间才上的函数，称为fd）在区间X上的导函数或简称为导数。