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1、742向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1.掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题.2.能够根据平而向量的坐标，判断向量是否垂直.3.通过学习向量的朋标表示，使学纶进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂肓的充要条件，向量长度的计算公式的应用.【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导,即a*b=a
2、b
3、cos<«,b〉与a9b=a]bl+a2b2两个式子的内在联系.【教学方法】本节课采川启发式教为和讲练结合的教学方法.向量内积的坐标
4、表达式，是向量运算内容与形式的统一.无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为肓角坐标运算.教学屮教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图1.已知非零向量a与b,则a与教师提出问题.为知识迁移做准b的内积表达式是怎样的？由内积表达学生回忆解答.师生共同备.导式怎样求cos《a,b>?回忆旧知识.2.aXJbo；师：对平面向量的内积的入3.a
5、^yja•a有何关系？研究不能仅仅停留在几何角度，述耍寻求其坐标表示.引出探究问题.已知%是直角坐
6、标平面上的基学生讨论并回答，教师再问题为复习向量向量,a=(a}fd2),b=(b,b』,你能推提出的下列问题：的线性运算和向量的导111-b的坐标公式吗？(1)(aiei+a2e2)•{be}+内积而设计.通过学探究过程加02）是怎样进行运算的？生的探究给出结论，a•b=(aie+a2e2)•(be+b^i)(2)e9],e2“2>5P比直接给出更符合学新=abe•e+ab^e•的内积是怎样计算的？生的特点，容易被学课+^2恥1•血+①仇血•幺2，教师针对淫生的冋答进行生接受.通过结论的又因为点评.师牛:共同写出详细的
7、探探究，让学牛初步感6•01=1,02*02=1，6•02=0,究过程.受到无论是向量的线所以性运算还是向量的内a•Z>=ai/?i+a2/?2-积运算，最终都归结为直角坐标运算.定理在平面直角处标系中，已知6,02是直角坐标平面上的基向量,两个非零冋量a=(di，02)，b=(bi,仇)，则a•b=abx+a2b2-这就是说，两个向量的内积等于它们対应处标的乘积的和.我们还可以得到以下结论：(1)向量垂直的充要条件为a丄bo67ibi+a2仇=0；(2)两向量夹角余弦的计算公式为,aibi+a2b2cos=—5===-f===.问
8、题：(1)若已知a=(°],①)，你能用上面的定理求l\a吗？解因为
9、a[=a•a=(ci,«2)•©)所以
10、d
11、=£『+勿2.这就是根据InJ量的坐标求向址长度的计算公式.(2)若已知A(q,yj,B(x2fj2)>你能求吗？解因为A(兀],yj,3(兀2,)'2)»所以瓜方=(疋・小，)‘2・yi).因为a=yla}2+a^f所以I确=l(x2-xi)2+(j?2-Ji)2，这就是根据两点的坐标求两点Z间的距离公式.例1设a=(3,-1),方=(1,-2),求：教师给出向量内积的直角坐标运算公式.并引导学生用文字叙述.在教师的
12、引导下学生讨论得出.教师提出问题，稍加点拨.学生讨论解答.教师总结得出这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式.教师提出问题.学生讨论解答.教师总结得出这就是根据两点的坐标求两点Z间的距离公式.学牛尝试解答.教师针対学生的回答进行点评.通过对问题的详细探究得到性质，比直接给出结论更容易被学生接受.同时加深对a・〃=。0]+。2加的理解.从而提高学生的思维能力.使刚刚学过的知识及时得到应用.通过例1可让学生加深对向量内积的新课⑴"•比(2)
13、a
14、;(3)
15、纠；(4)s,b>.解(l)a・方=3X1+(—1)X(—2)=3+2=5；⑵
16、°
17、=勺32
18、+(_])2=倔；(3)2
19、=/2+(_2)2=书；(4)因为.ab5y/2COSS,b>r—r-ya\b范W2TT所以a,〃》一4.例2已知A(2,-4),B(—2,3),求
20、乔
21、.解因为A(2,-4),B(—2,3),所以人3=(—2,3)—(2,—4)=(-4,7),所以
22、鬲
23、=乜72+(-4)2=畅.例3已知4(1,2),3(3,4),C(5,0),求证：ZBC是等腰三角形.证明因为乔=(3-1,4-2)=(2,2),A?=(5-l,0-2)=(4,-2),处=(5—3,0-4)=(2,-4),
24、犹尸寸护+㈡2)J倔，
25、5?
26、=^
27、/22+(-4)2=^20.所以
28、疋
29、=
30、就
31、・教师点拨，学生解答.教师针对学生的回答进行点评.教师点拨，学生讨论解答.小纽讨论时教师巡视，并针对学生
