向量内积的坐标运算与距离公式.doc

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1、向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1.掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题．2.能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．3.通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝

2、a

3、

4、b

5、cos‹a，b›与a·b＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学

6、方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1．已知非零向量a与b，则a与b的内积表达式是怎样的？由内积表达式怎样求cos‹a，b›？2．a^bÛ　　　　　　；3．

7、a

8、与有何关系？教师提出问题．学生回忆解答．师生共同回忆旧知识．师：对平面向量的内积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示．

9、引出探究问题．为知识迁移做准备．新已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，你能推导出a·b的坐标公式吗？探究过程a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1e1·e1＋a1b2e1·e2学生讨论并回答，教师再提出的下列问题：（1）(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)是怎样进行运算的？（2）e1·e1，e2·e2，e1·e2的内积是怎样计算的？问题为复习向量的线性运算和向量的内积而设计．通过学生课新课＋a2b1e1·e2＋a2b2e2·e2，又因为e1

10、·e1＝1，e2·e2＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝a1b1＋a2b2．定理在平面直角坐标系中，已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和．我们还可以得到以下结论：(1)向量垂直的充要条件为a⊥bÛa1b1＋a2b2＝0；(2)两向量夹角余弦的计算公式为cos‹a，b›＝．问题：(1)若已知a＝(a1，a2)，你能用上面的定理求出

11、a

12、吗？解因为

13、a

14、2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，

15、a2)＝a12＋a22，所以

16、a

17、＝．这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．(2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出

18、

19、吗？解因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以＝(x2－x1，y2－y1)．因为

20、a

21、＝，所以

22、

23、＝，教师针对学生的回答进行点评．师生共同写出详细的探究过程．教师给出向量内积的直角坐标运算公式．并引导学生用文字叙述．在教师的引导下学生讨论得出．教师提出问题，稍加点拨．学生讨论解答．教师总结得出这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．教师提出问题．学生讨论解答．的探究给出结论，

24、比直接给出更符合学生的特点，容易被学生接受．通过结论的探究，让学生初步感受到无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终都归结为直角坐标运算．通过对问题的详细探究得到性质，比直接给出结论更容易被学生接受．同时加深对a·b＝a1b1＋a2b2的理解．从而提高学生的思维能力．使刚刚学过的知识及时得到应用．新课这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．例1设a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)

25、a

26、；(3)

27、b

28、；(4)‹a，b›．解(1)a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5；(2)

29、a

30、＝

31、＝；(3)

32、b

33、＝＝；(4)因为cos‹a，b›＝＝＝，所以‹a，b›＝．例2已知A(2，－4)，B(－2，3)，求

34、

35、．解因为A(2，－4)，B(－2，3)，所以＝(－2，3)－(2，－4)＝(－4，7)，所以

36、

37、＝＝．例3已知A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，求证：△ABC是等腰三角形．证明因为＝(3－1，4－2)＝(2，2)，＝(5－1，0－2)＝(4，－2)，＝(5－3，0－4)＝(2，－4)，

38、

39、＝＝，

40、

41、＝＝，所以

42、

43、＝

44、

45、．教师总结得出这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．学生尝试解答．教师针

46、对学生的回答进行点评．教师点拨，学生解答．教师针对学生的回答进行点评．教师点拨，学生讨论解答．小组讨论时教师巡视，通过例1可让学生加深对向量内积的直角坐标运算公式及向量的长度公式的理解和记忆．巩固公式，形成技能．在板书证明的过程中，突出解题思路与步骤．新课因此△ABC是等腰三角形．例4已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)