平面向量内积坐标运算与距离公式

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1、平面向量内积的坐标运算与距离公式德清乾元职高朱见锋【教材分析】：本课是在平面向量坐标运算、内积定义基础上学习的，主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点间的距离公式，是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据，是进一步学习相关数学知识的重要基础。【教学目标】1.掌握平面向量内积的坐标表示，会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题．2.能够根据平面向量的坐标，判断两向量是否垂直，求两向量的夹角等。3.通过学习平面向量的坐标表示，使学生进一步了解数学知识的相同性，培养学生辩证思维能力．提高学生数学知识的应用能力。【教学重点】：平面向量内积的坐标公式式，

2、平面向量垂直的充要条件，平面内两点间距离公式的应用．【教学难点】：平面向量内积的坐标公式的推导和应用。【教学方法】本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图复习导入前面我们学习了平面向量的平面直角坐标及其运算下面一起来回忆下这些知识：1.在平面直角坐标系中，是基向量，他们的坐标如何表示？任意向量的坐标如何表示？的坐标如何表示？2.上节课我们学习了向量的内积，是怎么定义的呢？·==3．有哪些重要性质？·==Û　　　　　　；

3、

4、=∣·∣≤4.满足哪些运算律(1)交换律：·=·教师提出问题．学生回忆解答．师生共同回忆旧知识．师：对平面向量

5、的内积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示．引出探究问题．为知识迁移做准备．(2)结合律：(λ)·＝λ(·)＝·(λ)；(3)分配律：(＋)·＝·＋·5.那么如何用坐标来表示·呢？新课知识讲解已知，是直角坐标平面上的基向量，如果＝(a1，a2)，＝(b1，b2)，你能推导出·的坐标公式吗？探究过程·＝(a1＋a2)·(b1＋b2)＝a1b1·＋a1b2·＋a2b1·＋a2b2·，又因为·＝1，·＝1，·＝0，所以·＝a1b1＋a2b2．定理在直角坐标平面xoy中，如果＝(a1，a2)，＝(b1，b2)则·＝a1b1＋a2b2．即：两个向量的内积等于它们对应坐标的乘

6、积的和．因此可以推出两向量垂直的充要条件为⊥Ûa1b1＋a2b2＝0；问题：(1)若已知=(a1，a2)，你能用上面的定理求出

7、

8、吗？解因为

9、

10、2=·=(a1，a2)·(a1，a2)＝a12＋a22，所以

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12、=．这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．因此可推出两非零向量夹角余弦值公式为cos‹，›＝．学生讨论并回答，教师再提出的下列问题：（1）(a1＋a2)·(b1＋b2))是怎样进行运算的？（2）·，·，·的内积是怎样计算的？教师给出向量内积的直角坐标运算公式．并引导学生用文字叙述．在教师的引导下学生讨论得出．教师提出问题，稍加点拨．学生讨论解答．教师总结得出这就是根据

13、向量的坐标求向量长度的计算公式．教师例题分析讲解学生边学边用问题为复习向量的线性运算和向量的内积而设计．通过学生的探究给出结论，比直接给出更符合学生的特点，容易被学生接受．通过结论的探究，让学生初步感受到无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终都归结为直角坐标运算．从而归纳总结出公式及数学规律例题讲解练习巩固例题讲解例1设＝(3，－1)，＝(1，－2)，求：(1)·；(2)

14、

15、；(3)

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17、；(4)‹，›．解(1)·＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5；(2)

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19、＝＝；(3)

20、

21、＝＝；(4)因为cos‹，›＝＝＝，因为0≤‹，›≤所以‹，›＝．配套学生练习：已知＝(0，

22、2)，＝(-2，2)，求：(1)·；(2)

23、

24、；(3)

25、

26、；(4)‹，›．问题(2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求

27、

28、？解因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以＝(x2－x1，y2－y1)．所以

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30、＝，这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．例2已知A(2，－4)，B(－2，3)，求

31、

32、．解因为A(2，－4)，B(－2，3)，所以＝(－2，3)－(2，－4)＝(－4，7)，所以

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34、＝＝．学生练习：已知A(2，1)，B(6，3)，C(5，0)，求：△ABC三边的长，并判别△ABC是否为等腰三角形．学生练习巩固所学知识教师提出问题．学生讨论解答．教师总结

35、得出这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．学生尝试解答．教师针对学生的回答进行点评．通过例1可让学生加深对向量内积的直角坐标运算公式及向量的长度公式的理解和记忆．使刚刚学过的知识及时得到应用．让学生在边学边用中巩固知识，形成技能．采用问题诱导式让学生更易理解和接受通过例2可让学生加深对平面内两点间距离公式的理解和记忆．练习巩固新课例3已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证：^．证明因为＝(2－1，3－2)＝(1，1)，＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)，可得·＝(1，1)·(－3，3