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1、数学基础模块 下册7.4.2向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1.掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题．2.能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．3.通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝
2、a
3、
4、b
5、cos‹a，b›与a·b＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．【教学方法】本节课采用启
6、发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1．已知非零向量a与b，则a与b的内积表达式是怎样的？由内积表达式怎样求cos‹a，b›？2．a^bÛ ；3．
7、a
8、与有何关系？教师提出问题．学生回忆解答．师生共同回忆旧知识．师：对平面向量的内积的研究不能仅仅停留在几何角度，
9、还要寻求其坐标表示．引出探究问题．为知识迁移做准备．新课已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，你能推导出a·b的坐标公式吗？探究过程a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1e1·e1＋a1b2e1·e2＋a2b1e1·e2＋a2b2e2·e2，又因为e1·e1＝1，e2·e2＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝a1b1＋a2b2．学生讨论并回答，教师再提出的下列问题：（1）(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)是怎样进行运算的？（2）e1·e1，e2·
10、e2，e1·e2的内积是怎样计算的？教师针对学生的回答进行点评．师生共同写出详细的探究过程．问题为复习向量的线性运算和向量的内积而设计．通过学生的探究给出结论，比直接给出更符合学生的特点，容易被学生接受．通过结论的探究，让学生初步感受到无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终都数学基础模块 下册新课定理在平面直角坐标系中，已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和．我们还可以得到以下结论：(
11、1)向量垂直的充要条件为a⊥bÛa1b1＋a2b2＝0；(2)两向量夹角余弦的计算公式为cos‹a，b›＝．问题：(1)若已知a＝(a1，a2)，你能用上面的定理求出
12、a
13、吗？解因为
14、a
15、2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2)＝a12＋a22，所以
16、a
17、＝．这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．(2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出
18、
19、吗？解因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以＝(x2－x1，y2－y1)．因为
20、a
21、＝，所以
22、
23、＝，这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．例1设a＝(3，
24、－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)
25、a
26、；(3)
27、b
28、；(4)‹a，b›．教师给出向量内积的直角坐标运算公式．并引导学生用文字叙述．在教师的引导下学生讨论得出．教师提出问题，稍加点拨．学生讨论解答．教师总结得出这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．教师提出问题．学生讨论解答．教师总结得出这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．归结为直角坐标运算．通过对问题的详细探究得到性质，比直接给出结论更容易被学生接受．同时加深对a·b＝a1b1＋a2b2的理解．从而提高学生的思维能力．使刚刚学过的知识及时得到应用
29、．通过例1可数学基础模块 下册新课解(1)a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5；(2)
30、a
31、＝＝；(3)
32、b
33、＝＝；(4)因为cos‹a，b›＝＝＝，所以‹a，b›＝．例2已知A(2，－4)，B(－2，3)，求
34、
35、．解因为A(2，－4)，B(－2，3)，所以＝(－2，3)－(2，－4)＝(－4，7)，所以
36、
37、＝＝．例3已知A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，求证：△ABC是等腰三角形．证明因为＝(3－1，4－2)＝(2，2)，＝(5－1，0－2)＝(4，－2)，＝(5－3，0－4)＝(2，－4)，
38、
39、＝＝，
40、
41、
42、＝＝，所以
43、
44、＝
45、
46、．因此△ABC是等腰三角形．例4已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证：^．证明因为＝(2－1，3－2)＝(1，1)，＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)，学生尝试解答．教师针对学生的回答进行点评．教师点拨，学生解答．教师针对学生的回答进行点评．教师点拨，学生讨论解
