高考数学真题——函数压轴题(含答案)

《高考数学真题——函数压轴题(含答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2018年数学全国1卷已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．解:（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.2017年数学全国1卷已知函数ae2x+(a﹣2)ex﹣x.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.（1）的定义域为，，（ⅰ

2、）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零点；③当时，，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为2016年数学全国1卷已知函数有两个零点.（I）求a的取值范围；（II）设x1，x2是的两个零点，证明：.【答案】(I)；（II）见解析【解析】试题分析：(I)求导，根据导函数的符

3、号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；(II)借助(I)的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，则．则当时，，而，故当时，．从而，故．试题解析：（Ⅰ）．（i）设，则，只有一个零点．时，所以不存在两个零点．若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．综上，的取值范围为．（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．由于，而，所以．设，则．所以当时，，而，故当时，．从而，故．2013年数学全国1卷设函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切

4、线（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）当≥－2时，≤，求的取值范围。21．【解析】（Ⅰ）由已知得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，设函数==（），==，有题设可得≥0，即，令=0得，=，=－2，1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时，＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而==≥0，∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，(2)若，则=，∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0，∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，(3)若，则==＜0，∴当≥－2时，≤不可能恒成立，综上所述

5、，的取值范围为[1,].2012年数学全国1卷已知函数满足.（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值.【解析】（1）令得：得：在上单调递增得：的解析式为且单调递增区间为，单调递减区间为（2）得①当时，在上单调递增时，与矛盾②当时，得：当时，令；则当时，当时，的最大值为2011年数学全国1卷(I)设函数，证明：当时，；(II)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：【命题意图】本题为导数、概率与不等式的综合,主要考查导

6、数的应用和利用导数证明不等式.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【解析】(I)…………………………2分当时,,所以为增函数,又,因此当时,.…………………………5分(II).又所以.由(I)知:当时,因此.在上式中,令,则19,即.所以…………………………12分2009年数学全国1卷设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；(II)证明：分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力

7、。大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根则有故有右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。解：由题意有．．．．．．．．．．．．①又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②　　　消去可得．又，且www.ks5u.com已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．【解析】（1）当时，

8、等价于．设函数，则．当时，，所以在单调递减．而，故当时，，即．（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．学&科网①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，