高考数学真题——函数压轴题(含答案)

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1、---2018年数学全国1卷已知函数f(x)1xalnx．x（1）讨论f(x)的单调性；fx1fx2a2．（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：x1x2解:（1）f(x)的定义域为(0,)，f(x)1ax2ax1x21x2.x（i）若a2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时f(x)0，所以f(x)在(0,)单调递减.（ii）若a2，令f(x)0得，xaa24或xaa24.22当xaa24aa24,)时，f(x)0；(0,2)U(2当aa24aa24时，f(x).所以f(x)在x(2,2)(0,aa24),(aa24,)单调递减，在(aa24,aa24)单调递2222增.（2）由（1

2、）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x1x2，则x21.由于f(x1)f(x2)1lnx1lnx2lnx1lnx22lnx2，x1x2x1x21ax1x22ax1x22a1x2x2所以f(x1)f(x2)a2等价于x22lnx20.------1x1x2x2设函数g(x)1)单调递减，又g(1)0，从x2lnx，由（1）知，g(x)在(0,x------而当x(1,)时，g(x)0.所以1x22lnx20，即f(x1)f(x2)a2.x2x1x22017年数学全国1卷已知函数（fx)ae2x+(a﹣2)ex﹣x.

3、（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.（1）f(x)的定义域为(,)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)，（ⅰ）若a0，则f(x)0，所以f(x)在(,)单调递减.（ⅱ）若a0，则由f(x)0得xlna.当x(,lna)时，f(x)0；当x(lna,)时，f(x)0，所以f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增.（2）（ⅰ）若a0，由（1）知，f(x)至多有一个零点.（ⅱ）若a0，由（1）知，当xlna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)1lna1a.①当a1时，由于f(lna)0，故f(x)只有一个零点；②当a(

4、1,11lna0lna)0，故f(x)没有零点；a)时，由于，即f(110③当alna，即f(0.(0,1)时，alna)------又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(,lna)有一个零点.nln(31)n0n0n0n0设正整数n0满足0a，则f(n0)e(aea2)n0en02n00.ln(31)lna)有一个零点.由于a，因此f(x)在(lna,------综上，a的取值范围为(0,1)2016年数学全国1卷已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.（I）求a的取值范围；（II）设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x22.【答案】(I)(0,)；（

5、II）见解析【解析】试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；(II)借助(I)的结论来证明，由单调性可知x1x22等价于f(x1)f(2x2)，即f(2x2)0．设g(x)xe2x(x2)ex，则g'(x)(x1)(e2xex)．则当x1时，g'(x)0，而g(1)0，故当x1时，g(x)0．从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22．'()(1)ex2(1)x2)．试题解析：（Ⅰ）(1)(exxaxxaf（i）设a0，则f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点．时f(x)0，所以f(x)不存在两个零点．若ae1，故当x(1,ln(2a))时，f'(x)

6、0；当x(ln(2a),)------，则ln(2a)------2------时，f'(x)0．因此f(x)在(1,ln(2a))单调递减，在(ln(2a),)单调递增．又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点．综上，a的取值范围为(0,)．（Ⅱ）不妨设x1x2，由（Ⅰ）知x1(,1),x2(1,)，2x2(,1)，f(x)在(,1)单调递减，所以x1x22等价于f(x1)f(2x2)，即f(2x2)0．由于f(2x2)x2e2x2a(x21)2，而f(x2)(x22)ex2a(x21)20，所以f(2x2)x2e2x2(x22)ex2．设g(x)xe2x(x2)ex，则g'(x

7、)(x1)(e2xex)．所以当x1时，g'(x)0，而g(1)0，故当x1时，g(x)0．从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22．2013年数学全国1卷设函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）当≥－2时，≤，求的取值范围。21．【解析】（Ⅰ）由已知得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；⋯⋯4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，设函数==（），==，有题设可得≥