人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习课后限时集训22三角恒等变换含解析

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1、课后限时集训(二十二)　三角恒等变换(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．(2018·南宁二模)已知cos2α＝，则tan2α＝(　　)A.　　　B．2C.D.D　[∵cos2α＝cos2α－sin2α＝，∴＝，即＝，∴tan2α＝.]2．(2019·湖北模拟)已知α∈，cos＝，则sinα的值等于(　　)A.B.C.D．－C　[由题可知sin＝＝，则sinα＝－cos＝sinsin－coscos＝×－×＝，故选C.]3．已知α，β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则(　　)A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C．3tan(

2、α＋β)＝tan(α－β)D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)A　[法一：因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，sin2α＝2sin2β，所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)]，整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同时除以cos(α＋β)cos(α－β)，得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.法二：因为sin2α＝2

3、sin2β，所以＝＝＝＝3，即tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.]4．已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为(　　)A．－B.C．－D.A　[因为sinα＝＋cosα，即sinα－cosα＝，所以＝＝＝＝－，故选A.]5．设a＝cos50°cos127°＋cos40°sin127°，b＝(sin56°－cos56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．a＞c＞bD　[∵a＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(127°－50°)＝cos77°＝sin13°，b＝(sin56°－cos56°)＝

4、sin(56°－45°)＝sin11°，c＝＝＝cos78°＝sin12°，又sinx在上单调递增，∴sin11°＜sin12°＜sin13°即b＜c＜a，故选D.]二、填空题6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ的值为________．　[因为cos(α＋β)＝，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝①因为cos(α－β)＝，所以cosαcosβ＋sinαsinβ＝②①＋②得cosαcosβ＝.②－①得sinαsinβ＝.所以tanαtanβ＝＝.]7．已知sinα＝，cos(α＋β)＝－，若α，β是锐角，则β＝________.　[sinα＝，cos

5、(α＋β)＝－，α，β是锐角，则cosα＝，sin(α＋β)＝，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝，所以β＝.]8．(2019·长春质检)函数f(x)＝sin＋sinx的最大值为________．　[函数f(x)＝sin＋sinx＝sinx＋cosx＋sinx＝sinx＋cosx＝＝sin≤.故最大值为.]三、解答题9．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．[解]　(1)由角α的终边过点P，得

6、sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由角α的终边过点P，得cosα＝－，由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.10．(2019·温州模拟)已知函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若－＜α＜0，f(α)＝，求sin2α的值．[解]　(1)∵函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋＝sin＋，∴函数f(x)的最小正周期为＝π.(2)若－＜α＜0，则2α＋∈，∴f(α)＝sin＋＝，∴

7、sin＝，∴2α＋∈，∴cos＝＝，∴sin2α＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.B组　能力提升1．已知函数f(x)＝sinx＋cosx在x＝θ时取得最大值，则cos＝(　　)A．－B．－C.D.C　[法一：∵f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，又f(x)在x＝θ时取得最大值，∴θ＋＝＋2kπ(k∈Z)，即θ＝＋2kπ(k∈Z)，于是cos＝cos＝cos＝×－×＝，故选C.法二：∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f′(x)＝cosx－s