2017数学（理）一轮对点训练：3-2-3导数的综合应用含解析

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1、題对点题必刷题1•设沧)是定义在R上的可导函数，当兀H0时，f(x)+®>0,Ji则关于兀的函数g(x)=/(x)+£的零点个数为()A・1B・2C・0D・0或2答案C【详细分析】由f⑴+罕>0,得h缪+乐)>0,当x>0时，Jixf⑴+沧)>0,即[劝*)]/>0,函数对U)单调递增；当兀<0时，xf(x)+/(x)<0,即时⑴]'<0,函数巩r)单调递减.r1xf(x)+1_x/(x)+1・・・对⑴>0/3)=0,又g(x)=心)+/=函数蛉)=的零点个数等价于函数y=xj[x)+1的零点个数.当兀>0时，y=xf(x)+1>1,当兀<0时，y=x

2、/(x)+1>1,所以函数y=xf(x)+1无零点，所以函数g(x)=/x)+x_1的零点个数为0•故选C.2.设函数沧)是定义在0)上的可导函数，其导函数为f⑴，且有2心)+灯’⑴>込则不等式(x+2014)2Ax+2014)-4A-2)>0的解集为・答案(一°°,—2016)【详细分析】由2代x)+xf(x)>x2,x<0得2巩x)+x于(x)

3、式(x+2014)2心+20⑷-4/(-2)>0即为F(x+2014)-F(-2)>0,即F(x+2014)>F(-2),又因为F(x)在(-®,0)上是减函数，所以兀+2014<-2,・"<-2016.3.已知/(x)=ax~cosx,7171493J9Vx2^7171493r©丸，鬥乎<0,则实数。的取值范围为——答案aW—爭7T7T【详细分析】f(x)=o+sinx依题意可知/(无)在尹3上为减函7TTTTTTT数，所以f(x)W0对兀€”亍恒成立，可得dW-sinx对兀€二，亍、71兀恒成立.设&0)=-sinr,x€才，§•易知&(兀)为减函

4、数，故g⑴罰=-¥，所以aW-书.4・设函数/x)=e,nA+x2一mr.(1)证明：沧)在(一0)单调递减，在(0,+°°)单调递增；(2)若对于任意兀1，兀2丘［—1,1］，都有

5、/(兀1)—心2)

6、We—1,求加的取值范围.解⑴证明：f(x)=m(efnx-1)+2x.若加20,则当兀€(-8,0)时，e,m-1^0,/(x)<0;当xC(0,+g)时，-120,f(x)>0・若加<0,则当兀€(-r0)时，e,ztv-1>0,f(x)<0;当兀€(0,+8)时，严-1<0,f⑴>0•所以，心)在(-I0)单调递减，在(0,+8)单调递增.(2)

7、由⑴知，对任意的m,夬乂)在［-1期单调递减，在［0,1］单调递增，故夬兀)在兀=0处取得最小值.所以对于任意兀［,兀2€［-1,1］,IX^i)［/(I)一夬0)We—1,的充要条件是阳醫007,即e"f31,e"+加We-l.设函数g(t)=e"-/一e+1，则g'(0=ez-1.当/<0时，gf(0<0;当/>0时，gf⑴>0.故g(/)在(-8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.又g⑴=0,g(-1)=「+2-evo,故当r6[-l,l]时，g⑴W0.当加€[-1,1]时，g(加)WO,g(-加)W0，即①式成立；当m>l时,由g⑴的单调性

8、，g(加)>0,即e,?z-m>e-1;当加<-1时，g(-加)>0,即e+/?t>e-1.综上，加的取值范围是[-U].5・设。>1,函数.心)=(1+兀2)2—Q.⑴求夬X)的单调区间；(2)证明：人兀)在(一+°°)上仅有一个零点；(3)若曲线y=»在点P处的切线与兀轴平行，且在点M(加，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),解(1M(x)=2xev+(1+x2)ev=(x2+2x+l)ev=(x+l)2eA^0,故朮兀)是R上的单调递增函数，其单调增区间是+8),无单调减区间.(2)证明：因为./(0)=(1+02)e°-a=-a

9、且./(Ina)=(1+ln26f)eln"-d=(1+lx^a)a-a=arTa>0,由零点存在性定理知，张)在(-8,+8)上至少有一个零点.又由(1)知，函数几兀)是(-+°°)上的单调递增函数，故函数夬兀)在(-+°°)上仅有一个零点.(3)证明：设点P(x0,yo)，由曲线y=f(x)在点P处的切线与兀轴平行知，f(x0)=0,即f(x0)=(x0+1)2ex0=0,(兀()+I)?=0,兀。=-]，即P(-1,2昇-d)・由点M(加，〃)处的切线与直线OP平行知,f(ni)=kOp.2由e"2]+加知，（1+加）'W（1+加）红”=a_—

10、即1+/nWa-即mWa~^一1•6・已知函数f{x)=rix—x其中〃丘2且n三2.⑴讨