高一数学人教A版必修1学案：命题与探究22对数函数含解析

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1、问题探究问题1如何将给出的对数式换成指定底数的对数？探究：《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.logN对数换底公式：logbN=—(a>0且a^l,b>0且bHl,N>0).log“b1tl推论:logab=,logambn=—logab.log/,am更特别地有logaan=n.问题2对数函数的运算性质有儿条？探究:对数函数有三条运算性质,它们分别是：如果a>0且aHl,M>0,N〉0,则有(1)loga(M•N)=logaM+logaN;M(2)loga(—)=logaM-logaN;N(3)log

2、aMn=nlogaM(n丘R).问题3对对数函数的图象和性质的研究,教材是根据互为反函数的图象特征，由指数函数的图象再作出其关于直线y=x的图象，即得对数函数的图象，在数形结合的数学思想指导下,推得对数函数的性质.请归纳对数函数y=logax(a>0且aHl)的性质.探究:我们研究函数的性质一般是通过研究函数的图象特征来进行的.通过研究对数函数的图象我们不难总结出对数函数有三条通性，即与a的取值无关的三条性质:⑴定义域都是(0,+8);(2)值域都为R;⑶图象恒过点(1,0).与a的取值有关的两个特tt：(l)a>l时,y=lo

3、gax在,,[x>lFbj",y>0,(0,+8)上是增函数;0l:<00.问题4比较两个对数型的数的大小，一般可采用哪些方法？探究:两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数，把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有：(1)直接法:由函数的单调性直接作答；(2)作差法:把两数作差变形，然后判断其大于、等于、小于零来确定；(3)作商法:若两数同号，把两数作商变形,判断

4、其大于、等于、小于1来确定；(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较；(5)媒介法:选取适当的“媒介”数，分别与要比较的两数比较大小，从而间接地求得两数的大小.典题精讲例1:比较下列各组中两个值的大小.(1)log31.9,log32;(2)logo.9。.1Jogof;(3)log35,log53;(4)log23,log0.32;(5)loga3l,loga3.141.思路分析：比较两个对数值的大小:同底可利用刈•数函数的单调性，如(1)(2);若底数、真数都不同可以借助常数(常用的・1,0,1)为媒介间接比

5、较大小，如⑶⑷;若真数相同,底数不同可以借助对数函数图象来比较大小;若底数与1的大小关系不确定，要分情况讨论.解:⑴因为y=log3x在(0,+8)上是增函数，所以log31.9logo,92.(3)因为log35>log33=1=log55>log53,所以log35>log53.(4)因为log23>log22=1,logo.32<0,^f以log23>log0.32.(5)当a>l时,1oga兀>loga3.141;当0

6、oganlg—和Igl.4之间的关系，所以应将三个对数的真数尽量化整并化小(一般把底化成常用对数)，便于寻找关系.解:a二lg(l+丄)=lg—=31g2-lg7©.b=lg(1+—)=lg—=lg—--Ig72=2-lg2-21g7②.774J4J2由①②得lg2=y(2a-b+2),lg7=y(-a-3b+6),(a-4b+l)..•.Igl.4=lg^

7、=lg2+lg7-l=

8、例3:已知函数y=lg(J〒+l・x),求其定义域，并判断其奇偶性、单调性.思路分析：这是一个常用对数，只要考虑真数大于0即可.但由于真数中含有根式，所以还要判断根式内的式子大于0时自变量的取值.解:市题意知J/+1・x>0,解得xeR,即定义域为R;f(-x)=lg[J(一兀)2十1-(-x)]=Ig(yjx2+1+x)=lg.=lg(J/+1-x)'=-Ig(7%2+1-X)Vx2+l-x=-f(x).y=lg(V-V2+1-x)是奇函数.・・•奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，・・・我们只需

9、研究戎上的单调性.任取X]、X2^R+J=LX

10、

11、VJ兀2?+1+X2即有Jx；+1-X

12、>-^x22+1-x2>0.又f(x)是定义在R上的奇函数，故f(x)在R-上也为减函数.例4:(1)函数y=lg」一的图象大致是(