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《黑龙江省海林市高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算3.2.2导数的运算法则导.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)［学习目标］1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.［目标解读］1.重点是利用导数的四则运算法则求导.2.难点是导数公式的综合应用及复合函数的求导.［情景引入］空气清新可人，水面上的叶子苍翠无比，池塘里的水也绿绿的，偶尔还能见几条小鱼儿自由自在地游来游去•微风过处，池塘水面上泛起粼粼微波，一排接着一排涌向池边，回击在池中，形成回环的波浪.我沉醉了，是啊！基本的是简单的美，攵合的是深沉的美，生活如此，我们的学习又何尝不是呢？复合函数作为一个
2、重要的知识点，它的导数如何求呢？提示：复合函数的求导建立在基本初等函数求导公式基础上，应用复合函数的求导公式求解.［新知探究］1.复合函数的求导(1)复合函数的概念对于两个函数y=u)和u=g{x),如果通过变量〃，y可以表示成,那么称这个函数为函数和的复合函数，记作y=.(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=gd)的导数间的关系：y/=.问题探究2：若复合函数y=f(gCr))由函数y=f(u),u=g3复合而成,则函数y=f3,u=g3的定义域、值域满足什么关系？提示：在复合函数屮，内层函数u=g3的值域必须是
3、外层函数y=Z的定义域的子集.【例题讲解】_例1求下列函数的导数.(1)y=*+1og3%;(2)y=x・e"；(3)y=COSTx⑷尸2x7+T;(5)y=sin彳+cos；.【思路启迪】①②③④结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导；⑤先化简，再求导.【解】⑴”=(/+log3^)/=(/)'+(log：^)'=2Hxln3*cosxt(cosx)'•x—cosx•(力'—x•sinx—cosx“sinjt+cos*(2a)9•(%2+1)~2x•{x+1)f(2+1)22(y+l)-4/2-2/(/+1)2=(/+l)2
4、-则/=VuA/=(
5、+
6、cosx)z=-
7、sinx点评：此类问题出错的主要因素一般有二：一是基本初等函数的导数公式记忆有误；二是求导法则掌握不到位.，尤其是对于积与商的求导法则屮的符号问题出现混淆，导致运算结果出现错误.对于复杂函数求导，一般遵循先化简再求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性.例2求下列函数的导数：(1)f3=(一2/+1尸；(2)f3=In(4^-1)；(1)A^)=23r+2；(4)/V)=#5jt+4；JT⑸/W=sin(3^+-)；⑹=【思路启辿】抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题吋可
8、先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则.【解】⑴设尸/,u=_2卄1,则=yj•弘'=2〃・(一2)=—4(一2/+1)=张一4.,14(2)设y=ln〃，u=Ax~l,贝0yf=yj•uxf=一・4=.(3)设y=2u=3x+29•亦=2(/ln2•3=31n2•23a+2=cosu•3=3cos(3(5)设y=sinm,u=?)x+—,•uxf⑹方法一：设y=Lf,u=cosx,贝Uy9=y，•Ux=2u•(—sinx)—=—2cos%•sin^=—sin2^；方法二:tx)=cosS」+；必=*+*os2jt,所
9、以尸3=(*+*cos2x)'=0+~•(—sin2%)•2=—sin2x点评：求复合函数的导数需处理好以下环节：(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(.2)关键是正确分析函数的复合层次：(3)—般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把川间变量换成自变量的函数.£例3—已知函数f(0=ln(l+/)—/+夕？(*$0).当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(l))处的切线方程.【思路启迪•一】利用复—合函数的求导法则和导数的儿何意义求解.【解】当k=2时，f{x)=ln(l+^
10、)—x~~x,f(/)=[]—1+2/.1十x由于f(l)=ln2,f(1)所以曲线y=f(x)在点(1,f(l))处的切线方程为y—ln23=-(^-1),即3a—2y+21n2-3=0.(1)利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数，是高考的热点.(2)求曲线的切线方程时，一定要注意己知点是否为切点.若切点没有给出，一般是先把切点设出來，并求出切点，再求切线方程.例4函数■&-初的导数为.【解】/=e1_2v+He1_20/+躺f(i_2x)‘=e1-2v+^1_2"X(-2)=(1-2x)e1_2x.【课堂小
11、结】1.利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导.遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导.1.对于
