关于函数方程的求解【毕业论文】

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1、（20__届）本科毕业设计数学与应用数学关于函数方程的求解17目录中文摘要………………………………………………………………………………………………11绪言……………………………………………………………………………………12函数方程的一些概念……………………………………………………………………23函数方程的求解方法………………………………………………………………………33.1换元法3.2待定系数法3.3递归数列法3.4数学归纳法3.5辅助数列法3.6利用方程组求解函数方程3.7代值减元法3.8柯西法求

2、解函数方程参考文献………………………………………………………………………………………………16Abstract……………………………………………………………………………………16致谢词…………………………………………………………………………………………………1717关于函数方程的求解摘要：在数学的许多研究领域都涉及到函数方程问题，在许多应用性科学研究中需要用到大量的函数方程模型.因此，求解函数方程一直是重要课题.函数方程的求解既是一个难点，同时又没有一个普遍使用的方法.本文主要介绍了函数方程若干求解

3、方法.关键词:函数；函数方程；求解1绪言当今世界，在数学研究的许多领域包括微分方程、动力系统、泛函分析、代数学、几何学、拓扑学、概率论等都涉及到函数方程问题，在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术、遥感技术、经济学理论、心理学理论等诸多方面也提出了许多函数方程模型.函数方程因此一直受到广泛关注，是当今数学研究的一个十分重要的课题.[1]函数方程又是一个经典的课题，早在18世纪初期，欧拉(L．Euler)、拉格朗日(Lagrange)等著名数学大师就已经利用函数方程解决问题了.17

4、69年达朗贝尔〔D’A1cmbert)在讨论力的合成法则时，导出了函数方程1773年法国数学家蒙日在研究曲面理论时又再一次运用了函数方程，并且给出了关于函数方程的一般阐述；同年，拉普拉斯又对另一类广泛应用的函数方程提供了解法；从1821年，数学家柯西(A.L．Cauchy)对一系列函数方程，如等作了深入的研究，并创造了一种求解函数方程的方法——柯西(Cauchy)法；另外，函数方程还受到了阿贝尔(N．H．Abel)、维尔斯特拉斯、哈代(G．H．Hardy)以及阿采尔等数学家的充分重视.被应用于不同的

5、领域，取得了许多令人意想不到的结果.例如，罗巴切夫斯基就曾将平行角定义成函数方程的解.20世纪初期，以谢留德为首的波兰学派对函数方程进行了—17些开创性的研究工作.20世纪40年代前后，苏联数学家盖尔谢凡诺夫教授进一步发展了函数方程的某些理论，并成功解决了一系列有关力学、渗透理论、弹性理论和地层动力理论等问题(这些问题都与谢留德函数方程有关).长期以来，尽管很多数学工作者付出艰辛的努力，并获得了大量结果，但遗憾的是至今仍没有像微分方程那样，建立起完整、系统的函数方程理论，就连一般的解法也较少.实践证

6、明，不论是对函数方程本身的研究或是函数方程中未知函数的求解者，都需要有良好的数学素质才行.正是由于这个原因，20世纪以来函数方程常常出现在国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题之中，成为当今数学竞赛的一个重要领域，越来越受到数学竞赛命题者的青睐，并引起国内外数学教育界的广泛关注.由于函数方程的异常复杂和困难，二百多年间发展缓慢、步履维艰.至今还没有关于函数方程的统一理论和解函数方程的一般方法，也没有关于函数方程的解的存在性和唯一性的判断准则.不仅如此，甚至还有一些函数方程至今未能解出.本文试图对函数方程

7、的解法主要是初等解法作一个初步的总结.但由于函数方程类型十分复杂，想对它进行适当分类就比较困难，加之还没有形成一般的理论和一般的方法，以及受我能力所限，欲对这一课题作系统、完整的叙述，似乎不现实，所以本文就我感兴趣的方法作一介绍.2函数方程的一些概念11.代换法（或换元法）1.2.待定系数法2.3.迭代法3.4.柯西法函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程，如、、、等.其中f(x)是未知函数.[2]　　2函数方程的解能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解.如、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述

8、各方程的解.3解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程.4迭代周期如果存在自然数使对定义域X中的所有都满足，则称具有迭代周期性.满足这种关系的最小自然数称为的迭代周期.[3]3函数方程的求解方法3.1换元法通过换元，用“新元”代替原表达式中的“旧元”，从而求出函数方程.[4]例1解函数方程解令；则.将此代入(1)式可得17即代入已知方程，易知其满足方程式.运用换元思想解方程的关键是针对所要解决的具体问题，根据题目的具体形式选准换元的方法，使问题获得