关于方程Ax + d = λx的求解

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1、浙江大学本科毕业设计（论文）本科生毕业论文（设计）题目关于方程Ax+d=λx的求解-29-浙江大学本科毕业设计（论文）-29-浙江大学本科毕业设计（论文）目录摘要Abstract第1章绪论1.1选题背景和意义1.2研究目的和思路第2章相关理论基础2.1线性方程理论2.2特征值和特征向量第3章根据A矩阵的情况对问题的讨论3.1一些特殊情况的解3.2比较一般的情况的解第4章复杂度分析和数值例子4.1对于确定算法的复杂度分析4.2数值例子第5章总结参考文献附录-29-浙江大学本科毕业设计（论文）摘要本文通过对矩阵不同形式的讨论，循序渐进的研究方程。在研究讨论这个方程的过程中，给出一系列的算法

2、，并给出算法的复杂度分析和一些数值例子。在通过对不同类型的矩阵讨论这个方程的过程中，运用一些简单的恒等变换和分类讨论来简化问题，并且使用一些经典的数值方法来解决剩下的问题。关键字：线性方程组；特征值；特征向量；实对称；Jacobi方法-29-浙江大学本科毕业设计（论文）AbstractIstudytheequationstepbystep,throughdiscussionofthedifferentformsofmatrix.Intheresearchprocessoftheequation,Igiveaseriesofalgorithms,complexityanalysisoft

3、hesealgorithmsandsomenumericalexamples.Intheprogressofdiscussingtheequationbydifferenttypesofmatrix,Iusesomesimplediscussionofequationtransformationandclassificationtosimplifytheproblem,andusesomeclassicalnumericalmethodstosolvetheleftproblems.Keywords:Linearequation;eigenvalue;eigenvector;reals

4、ymmetric;JacobiMethod-29-浙江大学本科毕业设计（论文）第1章绪论1.1选题背景和意义本文主要研究方程Ax+d=λx的解，其中A是一个给定的n阶矩阵，且情况未知，d是一个给定的非零向量，所需要求解的未知量为向量x与一个数值λ，且向量x中满足x(n-1)=x(n)。如果把这个向量方程看做一个方程组并且把的x(n-1)=x(n)也看做一个方程的话，这个方程组一共有n+1个方程，n+1个未知量，但由于λ的存在，它并不是一个通常的线性方程。1.2研究目的和思路通过对给定但是不确定具体形式的A矩阵进行讨论，根据A矩阵的性质来解原方程。由于原方程的形式非常接近线性方程组，如果

5、先确定或者固定了λ的值，那么，来解这个方程剩余的x的值就很方便了。而我们也可以通过利用x(n-1)=x(n)和A矩阵的性质来确定λ的值或者给出λ的可行范围。这样我们就能够解决这个问题了。为了体现λ在方程中的意义，我将原方程变形为(*)(λ-A)x=d而这个形式就是我们在接下来的文章中讨论这个方程的解的主要形式。同时，这个形式很容易让我们想到最后的解x与λ的值，是否会与A矩阵的特征值和特征向量有关联。-29-浙江大学本科毕业设计（论文）第2章相关理论基础2.1线性方程相关理论2.1.1线性方程组的Gauss消元法所谓Gauss消元法就是利用初等变换把线性方程组化为对角矩阵。然后根据化出的

6、形式判断方程是否有解，有解的话由底自上的解出每一个未知数。2.1.2线性方程组的直接解法对于一般规模较小的矩阵我们都可以采用LU分解或者选主元的LU分解来进行。特殊的，如果矩阵是一个对称正定矩阵，那么就可以采用Cholesky分解，把原矩阵分解为LLT的形式。2.1.3线性方程组的迭代法对于规模较大的矩阵，我们一般会采用迭代法的方法来解方程。符号定义：Ax=b，A=D–L–U，D为对角元矩阵，-L为下三角（无对角元）矩阵，-U为上三角（无对角元）矩阵。记B=D-1(L+U)，M=(D-L)-1U。（1）Jacobi迭代。xk+1=Bxk+D-1b（2）G-S迭代。xk+1=Mxk+(D

7、-L)-1b。（3）SOR迭代。xk+1=Lωxk+ω(D-ωL)-1b,-29-浙江大学本科毕业设计（论文）其中Lω=(D-ωL)-1[(1-ω)D+ωU]，ω称作松弛因子。当ω>1时，相应的迭代法叫做超松弛迭代法；当ω<1时，叫做低松弛迭代法；当ω=1时，就是G-S迭代法。其中超松弛迭代法简称为SOR迭代法。SOR迭代法的收敛速度与ω的选取有很大的关系。2.2特征值和特征向量2.2.1特征值和特征向量的定义与性质定义：矩阵A∈Pn×n，对于