关于函数方程的求解【文献综述】

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1、毕业论文文献综述k学与应用数学关于函数方程的求解1、本课题研究的意义当今世界，在数学研究的许多领域包括微分方程、动力系统、泛函分析、代数学、儿何学、拓扑学、概率论等都涉及到函数方程问题，在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术、遥感技术、经济学理论、心理学理论等诸多方面也提出了许多函数方程模型.函数方程因此一直受到广泛关注，是当今数学研究的-个十分重要的课题.函数方程又是一个经典的课题，早在18世纪初期，欧拉(L.Euler),拉格朗日(Lagrange)等著名数学大师就己经利用函数方程解决问题了.1769年达朗

2、贝尔〔D’Alembert)在讨论力的合成法则时，导出了函数方程/U+)’)+f(x-y)=2/(x)/(y)1773年法国数学家蒙円在研宄曲而理论时又再一次运用了函数方程，并且给出了关于函数方程的一般阐述：同年，拉普拉斯又对另一类广泛应用的函数方程提供了解法；从1821年，数学家柯西(A.L.Cauchy)对一系列函数方程，如/(i+)，)=/W+/(y)/(砂)=/(义)+/()’)/(x+力+f(x-y)=2f(x)f(y)等作了深入的研究，并创造了一种求解函数方程的方法一一柯西(Cauchy)法；另外，函数方程还受到了阿贝

3、尔(N.H.Abel)、维尔斯特拉斯、哈代(G.H.Hardy)以及阿采尔等数学家的充分重视.被应用于不同的领域，取得了许多令人意想不到的结果.例如，罗巴切夫斯基就曾将平行角tg-7T(x)=e定义成函数方程，(甲)=VTwoo的解.20世纪初期，以谢留德为首的波兰学派对函数方程进行了一些开创性的研究工作.20世纪40年代前后，苏联数学家盖尔谢凡诺夫教授进一步发展了函数方程的某些理论，并成功解决了一系列有关力学、渗透理论、弹性理论和地层动力理论等问题(这些问题都与谢留德函数方程有关).20世纪以来函数方程常常出现在国际数学奥林匹克

4、（IM0）竞赛试题之屮，成为当今数学竞赛的一个重要领域，越来越受到数学竞赛命题者的青睐，并引起国内外数学教育界的广泛关注.2、目前国内的研究现状长期以来，尽管很多数学工作者付出艰辛的努力，并获得了大量结果，但遗憾的是至今仍没有像微分方程那样，建立起完整、系统的函数方程理论，就连一般的解法也较少.由于函数方程的异常复杂和凼难，二百多年间发展缓慢、步履维艰.至今还没有关于函数方程的统一理论和解函数方程的一般方法，也没有关于函数方程的解的存在性和唯一性的判断准则.不仅如此，甚至还有一些函数方程至今米能解出.3、本课题研究的内容与重点本文

5、试图对函数方程的解法主要是初等解法作一个初步的总结.但由于函数方程类型十分复杂，想对它进行适当分类就比较困难，加之还没有形成-•般的理论和一般的方法，以及受我能力所限，欲对这一课题作系统、完整的叙述，似乎不现实，所以本文就我感兴趣的方法作一介绍.1.介绍函数方程的有关背景；2.介绍函数方程的有关概念与定义；3.介绍并重点研究解函数方程的方法.本文研宄讨论了解函数方程的8种方法.分别是：换元法、待定系数法、递归数列法、数学归纳法、辅助数列法、利用方程组求解函数方程、代值减元法、柯西法求解函数方程.这8种方法每种方法后面都有一定的例题

6、.其中以柯西法求解函数方程篇幅最良4、本课题研究所存在的问题由于函数方程的异常复杂和困难，二百多年间发展缓慢、步履维艰.长期以来，尽管很多数学工作者付出艰辛的努力，并获得了人量结果，但遗憾的是至今仍没有像微分方程那样，建立起完整、系统的函数方程理论，至今还没有解函数方程的一般方法，也没有关于函数方程的解的存在性和唯一性的判断准则.甚至还有一些函数方程至今未能解出.当今几乎所有数学专业基础课《数学分析》和《高等数学》教材中都没有关于函数方程专门一章的讨论，这对于有些同学对函数方程的定义概念十分的陌生.同学们都知道函数与方程，侃并不了

7、解函数方程.函数与方程思想在屮学以及大学屮应用广泛.很多同学误认为函数方程就是函数与方程的应用.由于函数方程的研宂发展缓慢，图书馆可以借到的关于阑数方程的书籍资料异常的少.网上关于函数方程的文献资料也不充裕.这对我深入研宂函数方程影响很大.5、参考依据［1］王向东.函数方程及其应用［M］.上海：上海科学技术文献出版社，2003：1-2.［2］韩苏.函数迭代与函数方程［J］.数学通讯，2001,24：第36页.［3］马俊青.函数方程求解的迭代周期方法的研宂［JL甘肃联合大学学报(自然科学版)，2007,21(4):第121页.［4］

8、蒋强.求解函数方程五法［J］.中学教研(数学)，1993,8:第21页.［5］丁钧.巧用换元法解函数方程［J］.河南科技，2010,4：第80页.［6］周晓文.函数方程问题的求解策略［J］.屮学数学教学，2003,05：第29-30页.［7］俞宏毓