函数方程的归类及求解

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1、福建师范大学数计学院中学代数研究期末论文函数方程归类与求解目录【摘要】2【关键字】2【正文】2一、函数方程相关概念2二、函数方程分类31．按元分32．按阶分33．按次分34．按未知函数的个数来分35．其他3三、函数方程的常用解法31、赋值法32、柯西法43、待定系数法64、代换法（换元法）75、递推法76、不动点法87、解方程组法98、数学归纳法109、参数法1110、微积分程法1111、数列法1212、反证法12四、结束语13五、参考文献1312--福建师范大学数计学院中学代数研究期末论文【摘要】

2、含有未知函数的等式称为函数方程，解函数方程的问题，就是求能使函数方程成立的一个函数或一类函数的集合，解函数方程没有一般的方法，需要有较强的解题技能和技巧，本文通过例题介绍函数方程的几种常见解法。而对于函数方程，本文给出了按元分，按阶分，按次分，按未知数个数分以及其他的分类方法。函数方程的思想反映了数学内部各个分支的密切联系与逻辑思维，研究函数方程的解法不仅可以拓展对函数概念更深层的理解，而且对函数在实际生活中的应用具有一定的指导作用。【关键字】函数方程分类解法赋值法柯西法递推法【正文】一、函数方程相

3、关概念在初等数学中遇到的所有方程(不外乎代数方程和超越方程两类)，都可以定义为含有未知数的等式，例如、（）、。在以上列举的方程中，作为未知的变量是一个或几个特定的数值(当然，也可能无解)，我们不妨称这类方程为“数值方程”．这样看来，在中学数学中所讨论的各种方程都应该是所谓的“数值方程”。还有一类方程，在这类方程中作为未知的变量而要我们去求解的不再只是数值而是一个或一类函数，这种方程通常被称为函数方程，例如、、、、等。其中(x)、是未知函数。除此之外还有微分方程、积分方程也属于函数方程，但由于中学阶段

4、比较少接触，故本文不对这两类函数方程讨论。1、函数方程的定义：含有未知函数的等式统称为函数方程。2、函数方程的解：如果函数在其定义域内满足所给的函数方程，就称是该函数方程的解函数或解。3、解函数方程：求函数方程的解或证明函数方程无解的过程就叫解函数方12--福建师范大学数计学院中学代数研究期末论文程。二、函数方程分类1．按元分函数方程中表示未知函数自变量的字母有几个，就称其为几元函数方程，如、、是一元函数方程，是二元函数方程。2．按阶分函数方程中未知函数经过几次迭代，就称其为几阶函数方程，如就是二阶

5、函数方程，其中。3．按次分函数方程中未知函数的最高次项的次数是几，就称其为几次函数方程，如就是一个二阶三次函数方程．4．按未知函数的个数来分如、、、都是含一个未知函数的函数方程；又如函数方程中就含有三个未知函数、、。同“数值方程”类似，几个函数方程也可以组成函数方程组．5．其他对于其他一些特殊类型的函数方程(即具有一定特殊结构的函数方程)，则有其特殊的名称。如多项式函数方程、迭代式函数方程、共轭型函数方程。三、函数方程的常用解法1、赋值法12--福建师范大学数计学院中学代数研究期末论文对函数方程中的

6、变量带入一些特殊式子或者数值，可以求出未知函数的一些特殊值，或者可以将原方程化简，再结合其他条件解决问题，赋值法是处理函数方程问题最基本的策略。使用赋值法要求仔细观察和勇于尝试。且其多用于多变量函数方程求解中。例1、①证明：1）2）3）证明：1）令（则）代入①得∴∴即2）时，有，只须即可）令，则有∵不恒为零，∴使，取，则3）令，则即证毕例2、，求解函数方程解：令，得当1、，令，解得2、，令，∴为任意实数常见的赋特殊值有0，-1,1等。此方法的特点是当函数方程的自变量多于一个时，将其中的一个或者几个自

7、变量用一些特殊值代入，常常可以简化方程，或求得未知函数在某些特殊点的值，这样能够得到化难为易的效果。2、柯西法定理：若f(x)是单调（或连续）函数且满足（柯西函数方程）、则。（“爬坡式”12--福建师范大学数计学院中学代数研究期末论文的推理方法，即：首选变量为n探索方程的解的形式，然后逐次推出相同结果）证明：首先由数学归纳法可得特别当时，1、时，取，则（设）时，2、时，即时，3、时，取，则即时，4、时，构造满足则综上述，许多函数方程都可以通过适当方法转化为柯西函数方程求解例、设是的连续函数，且不恒为

8、0，,解。解：，则假设存在使，则与不恒为0矛盾故，对两边取对数有令，则，且是连续函数故是柯西函数方程12--福建师范大学数计学院中学代数研究期末论文则（c为常数）即则，其中类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：　　（1）若,则；　　（2）若,则(由初值给出)；　　（3）若,则；（4）若,则。3、待定系数法　先由函数方程的结构预测这个函数方程解的函数类型，再将函数代人方程去确定它所包含的某些常数。当函数方程中的未知数是多项式，或者已知函数的类型或某些特