实数完备性定理相互论证及应用【开题报告+文献综述+毕业论文】

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1、毕业论文开题报告数学与应用数学实数完备性定理相互论证及应用一、选题的意义对牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但是当时分析的基础还极其不完善，这导致了第二次数学危机，直接的结果就是大量优秀的数学家投身到了研究实数基础的行列中，这其中相当重要的一部分就是实数的完备性公理，实数的完备性定理包括七条，这七条是等价的。作为分析学早期的经典定理之一，聚点定理成为了分析的基础，是研究实数的几何性质的重要工具，后来，因为它是很多拓扑空间所共有的性质，终于使数学家修正了聚点的原始定义，赋予它拓扑含义，进而建立了列紧性的概念。柯西收敛

2、准则不仅在数列收敛，求极限，证明定理中有用，还贯穿数学的各个方面。有限覆盖定理沟通了“有限”与“无限”，是一个质的变化，对于研究本生不连续却具有与连续函数相似的性质的函数，有限覆盖定理起了很大作用。除此之外，致密性定理，确界定理，单调有界定理，区间套定理在证明一些重要的定理中有广泛应用。深刻了解实数的完备性定理以及他们之间的相互关系对数学的近一步学习有十分重要的意义。弄清了实数完备性七个定理之间的相互转化就弄清了实数完备性。实数完备性是微积分的理论基础，七个基本定理分别从不同的角度来描述与刻画，循环论证在很多

3、书上可以看到，相互论证却难以找到，因此，为了对实数完备性有一个深层次的认识，我将对实数完备性七个定理之间的相互论证进行探究。二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）研究的主要内容：确界存在定理（非空有上界数集必有上确界，非空有下界数集必有下确界）.单调有界定理:（单调有界数列必收敛）区间套定理:（设是一闭区间套.则存在唯一的点,使对有致密性定理（任一有界数列必有收敛子列）.聚点定理.（每一个有界无穷点集必有聚点）.有限复盖定理:（闭区间的任一开复盖必有有限子复盖）.Cauchy收敛准则:（数列收

4、敛是Cauchy列）七个定理之间的相互论证，创新证明的方法与思路。三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）1.材料收集。主要途径有图书馆书籍、网络资源、教师资源及个人资源。2.材料整理。确认材料和分析分类材料。3.论文执笔。思考论文布局及写出初稿。4.论文初稿修改。5.在教师的指导和自己的进一步认识下,对论文再进行多次修改校正。6.论文定稿。7.论文完成。四、毕业论文（设计）提纲一目录二摘要三概念四符号说明五主要内容1、定理简述2、定理相互证明3、定理应用六参考文献五、主要参考文献[1]华东师范大学数学系，数

5、学分析（第三版）[M]北京：高等教育出版社，2007[2]武汉大学数学系，数学分析中的典型问题与方法（第二版）[M]北京：高等教育出版社，2009[3]Pugh，实数学分析(第一版)[M]北京：高等教育出版社，2009毕业论文文献综述数学与应用数学实数完备性定理相互论证及应用牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但是当时分析的基础还极其不完善，这导致了第二次数学危机，直接的结果就是大量优秀的数学家投身到了研究实数基础的行列中，这其中相当重要的一部分就是实数的完备性公理。一、国内外研究的历史发展自从毕达哥拉斯学派在公元前

6、5世纪发现无理数以来，人们对无理数的认识经历了难以想象的历史长河，直到19世纪中叶，人类的全部智慧仅停留在有理数与个别无理数的认识阶段.19世纪后半叶，柯西与魏尔斯特拉斯建立极限理论为微积分奠定了基础，而极限理论却又是建立在实数连续性的假设之上的.为使微积分的基础更牢固，建立系统的实数理论成为数学科学发展的关键.建立实数理论的难点是给无理数下定义.历史有时真巧合，实数的三大派理论：戴德金的“分割”、康托尔的“基本序列”、魏尔斯特拉斯的“单调有界序列”是同一年（1872年）在德国出现的.以下分别给予简单的介绍.

7、戴德金借助几何直观，通过以他名字命名的分割技术对有理数进行分割，巧妙而又严密的给出无理数的定义.大意如下：把有理数集Q分成与两个子集，使其满足下列三个条件：（1）；（2）中的任何一数小于中的任一数；（3）中无最大数.称上述分解为有理数的一个戴德金分割，并记做.凡是中有最小数的分割称为第一类分割，这类分割的界数（即从有理数范围内来考虑，与之间所缺乏的数）称为无理数；有理数和无理数统称为实数.戴德金同时证明对实数作同样的分割不产生新的数.这就是实数的完备性或连续性（可用利刀切洒上金粉的细线来解释有理数的非完备性及

8、实数的完备性）.现在人们把实数轴作为实数的几何模型，即实数与实数轴上的点一一对应，这是基于实数的连续性与直线连续性的统一。康托尔借助有理数“基本序列”来定义无理数，其工作是建立在柯西的工作基础之上的.柯西建立他的极限理论时，已经注意到无理数的重要性，在他的《分析教程》中把无理数定义为有理数序列的极限，即为有理数序列，若,则称是一个无理数.这个定义显然不确切.其一是因为有理数序列的极限不一定是无理数.