实数完备性定理及应用研究

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1、前言实数完备性定理及应用研究1前言实数完备性是数学分析的基础，而数学分析是数学专业的必修课程之一.数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是完备性和连续性，有了实数的完备性和连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多

2、新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出于对实数完备性在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备

3、熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用实数完备性这一工具解决实际应用问题的能力。在学数学分析时，同一个证明题会有不同的证明方法，这是由于所用实数系定理不同造成的，怎样才能让大家对这些定理有一个统一的认识呢？这个问题一旦解决，就会为实数完备性相关定理的应用找到一个新的研究途径.第25页（共25页）前言2选题背景2.1题目来源实数系的完备性是实数的一个重要特征,与之相关的六个基本定理是彼此等价的,并且是论证其他一些重要定理(如一致连续性定理等)的依据,它们从不同的角度刻画了实数系的完备性,在理论上具有重要价值，因此对实数完备性的研究产生了浓厚的兴趣.本论文题来源于理论研究.2.

4、2研究目的及意义通过《数学分析》理论的学习，不难发现实数理论是整个数学分析的基础，而实数理论中又以实数的完备性的六个命题为最重要.为了让大家对这六个命题有一个全面的认识，本文将以有限覆盖定理为起始证明其他定理的正确性，并对实数完备性定理的应用作出分析和举例.2.3国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向众所周知，在整个《数学分析》的知识中，实数系完备性基本定理是理论性最强的一部分.实数理论的建立,给数学分析注入了严密性.实数理论是数学分析的理论基础,而实数完备性定理又是实数理论中的重要内容之一,其中不乏精彩、美妙之处.目前，实数完备性的研究主要集中在几个定理的循环证明以及定理的应用.这

5、六个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们相互之间是等价的.实数完备性基本定理的证明不仅是《数学分析》的重点，也是该课教学的难点，不同的教材都有各自不同的处理方法，可谓是百家争鸣.其中比较简单的是全部用区间套方法证明其他定理.1987年，Botsko提出了一种统一处理这部分内容的新方法完全覆盖法，让大家对这方面的研究又燃起了新的斗志.因此，许多学者在这些方面都做了一些工作.另外，定理的应用也是研究的主要方向之一，这些定理从不同角度刻划了实数系的完备性，并且它们是论证其它一些重要定理和规则的依据，如连续函数介值定理，一致连续性定理等.除此之外，实数完备性作为《

6、数学分析》的基础知识，极大地考察了学生的基本功和论证能力，颇受考研出题者的喜爱.第25页（共25页）全面认识实数完备性3全面认识实数完备性3.1确界定义定义1设为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切，都有M(L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)．若数集既有上界又有下界，则称为有界集．若不是有界集，则称为无界集．定义2设是R中的一个数集．若数满足：（i）对一切，有，即是的上界；（ii）对任何存在，使得即又是的最小上界则称数为数集的上确界，记作定义3设是R中的一个数集．若数满足：（i）对一切，有，即是的下界（ii）对任何，存在，使得即又是的最大

7、下界，则称数为数集的下确界，记作上确界与下确界统称为确界．3.2极限以及数列定义定义4若函数的定义域为全体正整数集合，则称或为数列定义5设为数列，为定数.若对任给的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作或.第25页（共25页）全面认识实数完备性定义6若数列的各项满足关系式，则称为递增（递减）数列.递增数列和递减数列通称为单调数列.3.3区间套定义定义7设闭区间列具有如下性质：（i）；（ii），则称为闭区间套，或简称区