实数完备性定理相互论证及应用【文献综述】

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1、毕业论文文献综述数学与应用数学实数完备性定理相互论证及应用牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但是当时分析的基础还极其不完善，这导致了第二次数学危机，直接的结果就是大量优秀的数学家投身到了研究实数基础的行列中，这其中相当重要的一部分就是实数的完备性公理。一、国内外研究的历史发展自从毕达哥拉斯学派在公元前5世纪发现无理数以来，人们对无理数的认识经历了难以想象的历史长河，直到19世纪中叶，人类的全部智慧仅停留在有理数与个别无理数的认识阶段.19世纪后半叶，柯西与魏尔斯特拉斯建立极限理论为微积分奠定了基础，而极限理论却又是建立在实数连续性的假设之上的.为使微积分的

2、基础更牢固，建立系统的实数理论成为数学科学发展的关键.建立实数理论的难点是给无理数下定义.历史有时真巧合，实数的三大派理论：戴德金的“分割”、康托尔的“基本序列”、魏尔斯特拉斯的“单调有界序列”是同一年（1872年）在德国出现的.以下分别给予简单的介绍.戴德金借助几何直观，通过以他名字命名的分割技术对有理数进行分割，巧妙而又严密的给出无理数的定义.大意如下：把有理数集Q分成与两个子集，使其满足下列三个条件：（1）；（2）中的任何一数小于中的任一数；（3）中无最大数.称上述分解为有理数的一个戴德金分割，并记做.凡是中有最小数的分割称为第一类分割，这类分

3、割的界数（即从有理数范围内来考虑，与之间所缺乏的数）称为无理数；有理数和无理数统称为实数.戴德金同时证明对实数作同样的分割不产生新的数.这就是实数的完备性或连续性（可用利刀切洒上金粉的细线来解释有理数的非完备性及实数的完备性）.现在人们把实数轴作为实数的几何模型，即实数与实数轴上的点一一对应，这是基于实数的连续性与直线连续性的统一。康托尔借助有理数“基本序列”来定义无理数，其工作是建立在柯西的工作基础之上的.柯西建立他的极限理论时，已经注意到无理数的重要性，在他的《分析教程》中把无理数定义为有理数序列的极限，即为有理数序列，若,则称是一个无理数.这个

4、定义显然不确切.其一是因为有理数序列的极限不一定是无理数.其二更为重要的是在这个定义中，他把的存在性看作是已经证明过的结论或已定义过的概念来使用，因而陷入逻辑循环.康托尔对柯西的定义作了如下修改：如果对于任意正整数，，则称为基本序列，并称有理数的基本序列为实数.进而他还证明了以实数构成的基本序列的极限仍是实数，这就是说实数集是完备的.同年，德国数学家海涅（Heine，1821—1881）对康托尔的基本序列的概念作了进一步的完善：称为基本序列是指，只要充分大就有.今天习惯上称这种序列为柯西序列.魏尔斯特拉斯早在1860年就运用递增有界数列来定义无理数了

5、（在柏林大学的讲义中有记载），但直到1872年，他的这一观点才由他的学生柯沙克（H .Kossak）替他公开发表.从上述的实数连续理论构建的背景介绍中，我们看到实数概念建立有理数的概念之上，很自然要追问有理数理论已经构建好了吗？（正）有理数是用自然数之比来定义的，因此进一步要追问自然数理论已经建立好了吗？这个问题由意大利数学家佩亚诺在1889年建立自然数公里体系时已经解决，这里不作详细介绍.另一方面，从上面的介绍中，我们也看到实数（无理数）概念是建立在无穷集的基础之上，而且极限理论的构建中也碰到过无穷的问题，因而很有必要构建一门处理“无穷”的数学学科

6、二、实数完备性研究价值实数完备性定理相互论证及应用的研究,对于培养学生严谨的逻辑思维以及培养学生从多角度思考问题具有十分重要的意义，实数完备性定理证明过程体现了聚合思维与发散思维的完美结合，从不同的角度论证同一个问题不仅完备，更是完美。三、参考依据经过前期对网络、书籍等资料的整理和理解，我筛选出以下几篇文献作为主要参考资料。在论文资料的搜集过程中，有许多优秀的论文文献，每一篇都有其独特的见解。正是基于先前学者们的深入研究和总结，使我较快的投入到该题材的研究，并对该论文题材的认识由浅入深，直至其本质。最终在这些文献的指导和影响下，使我顺利的完成了本次论

7、文的撰写。参考文献[1]华东师范大学数学系，数学分析（第三版）[M]北京：高等教育出版社，2007[2]武汉大学数学系，数学分析中的典型问题与方法（第二版）[M]北京：高等教育出版社，2009[3]Pugh，实数学分析(第一版)[M]北京：高等教育出版社，2009