实数完备性定理的相互论证及应用【毕业论文】

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1、（20__届）本科毕业设计数学与应用数学实数完备性定理的相互论证及应用14摘要：牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但是当时分析的基础还极其不完善，这导致了第二次数学危机，直接的结果就是大量优秀的数学家投身到了研究实数基础的行列中，这其中相当重要的一部分就是实数的完备性公理，实数完备性的七个定理从不同的角度刻画，这七个定理是等价的，到目前为止，七个定理的证明方法多种多样，本文将七个定理的相互论证分为四类：构造区间套法，反证法，构造区间套与反证法相结合，寻找特殊点法。实数完备性的重要性不仅体现在生活中有广泛的应用，还体现在证

2、明其他重要定理如Dini定理，根的存在性定理中，本文将浅谈几个重要的应用。关键词：实数完备性，七个定理，相互论证，构造区间套法，反证法，构造区间套与反证法相结合，寻找特殊点法。1、引言一直以来我都在想用正确的A来证明B可不可靠，我们假设A是正确的，而A的正确性是由正确的C得到的，而C的正确性是由正确的B得到的，到最后我们用正确的B来证明B的正确性，似乎是不合理的，这不禁让我想到了在很多时候我们的很多证明都有这种情况，也让我想到了实数完备性定理的循环论证。后来我想是不是由于这个原因，数学变得脆弱，如果某个人们以为的某

3、个正确的东西错了，就会引起数学危机。循环论证虽简洁，也体现了数学的美，但我认为它至少存在以下问题：其一是用正确的B来证明B的正确性，其二是以串联的形式出现，一个错了，就会断路。那么实数完备性定理的循环论证是不是也会有这些问题，相互论证构建的是一个更复杂的网络，它会比循环论证更经的起推敲，因此，我选择进行实数完备性的相互论证。本文将实数完备性七个定理相互间的论证方法归为四类，即构造区间套法，反证法，构造区间套与反证法相结合，寻找特殊点法。对每种类型给出其中的一个证明，其他简略的说一下思路。本文从实际与理论两个方面浅谈

4、了实数完备性定理的一些应用。2、实数完备性定理的概述实数完备性的基本定理有七个：（1）确界定理：非空有上界数集必有上确界，非空有下界数集必有下确界。（2）单调有界定理:单调有界数列必收敛。（3）区间套定理:设是一闭区间套.则存在唯一的点,使对有。（4）致密性定理：任一有界数列必有收敛子列。（5）聚点定理：每一个有界无穷点集必有聚点。(6)有限覆盖定理:闭区间的任一开覆盖必有有限子覆盖。(7)Cauchy收敛准则:数列收敛是Cauchy列。14其实确界定理，单调有界定理，区间套定理，致密性定理，聚点定理，Cauchy

5、收敛准则，他们都指出，在某种情况下便有这样的某种“点”存在。七条定理是等价的。作为分析学早期的经典定理之一，聚点定理成为了分析的基础，是研究实数的几何性质的重要工具，后来，因为它是很多拓扑空间所共有的性质，终于使数学家修正了聚点的原始定义，赋予它拓扑含义，进而建立了列紧性的概念。柯西收敛准则不仅在数列收敛，求极限，证明定理中有用，还贯穿数学的各个方面。有限覆盖定理沟通了“有限”与“无限”，是一个质的变化，对于研究本生不连续却具有与连续函数相似的性质的函数，有限覆盖定理起了很大作用。除此之外，致密性定理，确界定理，单

6、调有界定理，区间套定理在证明一些重要的定理中有广泛应用。深刻了解实数的完备性定理以及他们之间的相互关系对数学的近一步学习有十分重要的意义。3、实数完备性七个定理相互论证本文将实数完备性七个定理相互间的论证方法归为四类，即构造区间套法，反证法，构造区间套与反证法相结合，寻找特殊点法。3.1构造区间套法构造区间套法的基本思路：找到进行分割的区间，根据特定的条件构造区间套，再利用已知条件得出结论。利用构造区间套法可以进行以下证明：确界定理单调有界定理单调有界定理致密性定理确界定理区间套定理致密性定理聚点定理聚点定理Cau

7、chy收敛准则Cauchy收敛准则聚点定理单调有界定理致密性定理单调有界定理致密性定理Cauchy准则Cauchy收敛准则聚点定理确界定理14确界定理确界定理单调有界定理单调有界定理聚点定理聚点定理致密性定理致密性定理Cauchy收敛准则Cauchy准则3.1.1应用区间套定理证明确界定理证明：我们只证有上界就一定有上确界，对于有下界一定有下确界的情况也可以类似的证明设M为集合E的上界，若E有最大值，则已证。下面证无最大值的情况对xE，将[x,M]二等分若右半区间含E中的点，则将右半边记为[,]若右半区间不含E中的

8、点，则将左半边记为[,]依次下去则得区间套{[,]},{}单调递增，｛｝单调递减，且-0(n→∞)根据区间套定理,[,]根据区间套的构造可知E中的任意点都小于等于，且对任意的aE,存在N,当n>N,有>a，故为上确界。3.1.2应用区间套定理证致密性定理证明：设的上界为M，下界为m，将[m,M]二等分若右半区间含E中无穷多个点，则将右半边记为[,]若右半区间