复旦大学材料物理第9课

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1、第9课关于一维周期势场中电子运动的理论处理思路固体是由大量的原子组成，每个原子又有原子核和电子，原则上说．如果能写出这个多体问题的薛定鄂方程，而且求出该方程的解，便可以了解固体的许多物理性质。前面的讨论是单个电子在周期性场中运动的基本特性。把多体问题简化为单电子问题，中间需要经过多次简化：1.绝热近似。考虑到原子核的质量比电子大，离子运动速度慢，在讨论电子问题时，可以认为离子是固定在瞬时的位置上。这样，多种粒子的多体问题就简化成多电子问题。2.单电子近似（哈特里—福克近似）。利用哈特里—福克自治场方法，电子问题简化为单电子问题，

2、每个电子是在固定的离子势场以及其他电子的平均场中运动。3.周期场近似。认为所有离子势场和其他电子的平均场是周期性势场。对于三维的周期场中的单电子问题也只能用各种近似方法求解。通常选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，把晶体电子态的波函数用此函数集合展开，然后代入薛定鄂方程，确定展开式的系数所必须满足的久期方程，据此可求得能量本征值，再依照逐个本征值确定波函数展开式的系数。不同的方法仅在于选择不同的函数集合。这是理论计算的框架，实际晶体的能带计算必须借助快速大容量的电子计算机。所以，晶体能带结构的计算是十分繁重的工作。因而一些半经

3、验的方法起相当重要的作用，它借助实验数据来确定计算较困难的量。三维情况的布洛赫定理若函数f(r)具有晶格的周期性，则引入平移矢量T(Rn)，对于单电子的周期势能V(r)有在周期势场中运动的单电子薛定鄂方程为如果属于能量E有d个独立解满足正交归一化条件由于可以有即也是薛定鄂方程的一个解。显然此解不可能是独立的，应是d个解的线性组合，即依然有满足正交归一化条件，即又因，故平移算苻满足交换率，可以对易，即因此所有平移算苻有有共同的本征函数，所有的平移算符又都同H对易，因而所有平移算将和H有共同的本征函数。设此本征函数为且是平移算苻的本

4、征值。由于可有对此式取对数，有依次关系，可把本征值写为由此如果令则一定满足关系如果把k看成一个连续变量，则可去掉下标m，因此有即：描述晶体电子状态的布洛赫波是调幅的平面波，调幅函数具有与晶体相同的周期性。这就是三维空间中的布洛赫定律。如果晶体有个原胞，每个原胞体积，晶体体积是，波函数，归一化条件所以布洛赫波的周期因子的模的平均值约为引入倒格子，并定义倒格矢，【注意：此定义与前面略有不同，差了一个因子】可以证明：在倒易空间中，波矢可表为利用边界条件有由此得到（整数）即是任意整数。当换成时，相当于波矢k换成，是倒格矢．波矢为k’的波

5、函数为方括号中的函数仍然是晶格的周期函数，可记为。因此的态和k态是两个等价的状态，代表相同的电荷分布。因而人们往往把限制在到的范围内。若Nj是奇数，取上述范围的正、负整数以及零；若Nj偶数这区间的两端点取其一．综合这两种情形，可确定如下范围相应的波矢k的范围是此范围在倒格子空间是倒格基矢的垂直平分面围成的多面体，称为简约布里渊区，它的体积是等于倒格子原胞的体积，其中波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点占体积在简约布里渊区内含有的波矢数目为此数目正好等于晶体中的原胞数目。如前章所述，在考虑实际晶体电子占有能带时这个关系很重要。二

6、维、三维布里渊区1.二维正方格子正格子原胞基矢倒格子原胞基矢倒格子空间离原点最近的4个倒格矢为，它们的垂直平分线的方程式为以及这些垂直平分线围成的区域就是简约布里渊区，即第一个布里渊区。这个区也是—个正方形，其中心常用符号标记，区边界线的中心记为X，角顶点用M表示，沿到X的连线记为，沿到M点连线记为。离点次近的四个倒格点相应的倒格矢是：它们的垂直平分线，同第I布里渊区边界线围成的区域合起来成为第II布里渊区，这个区的各部分分别平移一个倒格矢，可以同第一个区重合。离点更远一些倒格点是四个倒格矢它的垂直平分线向第I区的边界线和第II

7、区的边界线围成第III区．这个区的各部分分别平移适当的倒格矢也能同第I区重合，更高的布里渊区可用类似方法求得。2.体心立方格子体心立方正格子的三个基矢为：可以求出此时的倒易基矢【注意：这是一个面心格子！】：倒格矢面心格子中到原点最近的格点有12个，它们在直角坐标系的坐标为：可以具体算出，为：相应的倒格矢的长度这十二个例格矢的中垂面围成菱形十二面休，如图6—2所示，其体积正好是例格子原胞的大小。通常布里渊区中某些对称点和若干对称轴上的点的能量较易计算，这些点的常用符号列在下面：波矢k：波矢k：大写英文表示倒易格点；大写希腊字表示区

8、域。1.面心立方格子面心立方格子的基矢是此格子的倒易基矢是【注意：这是体心格子！】：倒格矢体心格子到原点最近的格点有8个，它们在直角坐标系的坐标为：可以具体算出，为：它们的中垂面围成一个正八面体，每个面离原点的距离是。再考虑次近邻的六个倒格点：的相应倒格矢的垂直