复旦大学材料物理第课.

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1、复旦大学材料物理第3课.第3课晶体的宏观对称性——32种点群晶体的外形是一个有限的多面体，各个晶面外形具有一定的对称性；例如，由两个简单立方格子套合而成。购NaCl立方结构晶体，沿它的中心轴旋转90，结果晶体的各晶面仍旧回复到原来位置，这就是晶体的对称性。而这种能使晶体各晶面仍回到原来位置的操作称为对称操作。事实上人们对晶体内部结构的认识就来源于对外形对称性的研究，经过百亲年对大量晶体进行测角与投影研究，归结出晶体存在32种典型的对称类型，1891年费多洛夫、熊夫利斯和巴罗独立地发表了空间群理论，充实了空间点阵学说，形成了晶体结构的几何理论。X射线的发现使人们有了研究晶体内部结构的工

2、具。这些研究的结果证实了上述理论的正确性。群的定义关于群的数学定义：21操作的一个集合，如果有而且只有以下四个条件被满足，它就构成一个群：(i)任意两个操作的积还是集合内的一个操作（封闭性）；(ii)集合内有一个恒等操作1(E)；(iii)每一个操作R都有一个－逆操作R-1，使得RR1＝1(E)；(iv)操作的乘法满足结合律。群的元素个数定义为群的阶，可以用h来表示。点对称操作：在操作过程中保持空间有一个不动点的对称操作。对于晶体而言，点对称操作有下列元素：(i)恒等操作（1，E）；(ii)旋转操作（n，360/n）；对于晶体，n=2,3,4,6（n=1就是恒等操作）?旋转和对称轴2

3、1晶体若绕某轴旋转??360/n?(n?1,2,3,......)后，所得的结果是各晶面仍旧间复到原来位置，那么称此晶体具有n次对称轴，并用n表示，而旋转操作表示为L(?)，这里?是旋转角度，由于宏观对称性是受到微观周期性的制约和影响，所以晶体的宏观对称元素不是任意的，对于旋转对称只可能存在1，2，3．4和6等五种，5及比6更大的对称轴是不存在的，在图形上分别用？？？？？？等符号来标记2,3,4,6如图2．6．1所示。通常在晶体对称轴中，轴次最高的称主对称轴，简称主轴(但立方晶系则以3次轴为主轴)，其他对称轴称为副对称轴．简称副轴。(iii)镜面（m）晶体中若存在某平面，能使平面两边

4、的部分进行反映操作后晶体上各个晶面能仍旧回复到原位．此种平面称为对称面，对称面用m表示，而反映操作用M表示。(iv)反演操作（1）可视为是一个二次旋转（2）＋一个镜面（m）。镜面与旋转轴垂直。(v)3次反轴(3)：3＋1(vi)4次反轴(4)：4＋1(vii)6＋16次反轴（6）关于晶体中为什么n＝1，2，3，4，6的证明：阵点A1经过点对称操作旋转?度，到达A1’位置，由于平移周期性，相邻的A2点在逆?角转动下到达A2’，根据几何关系，可有：a?2acos??ma（m是整数），或cos??mcos??n-110101/26061?m210904由于cos21?只能小于或等于?，所以

5、m只能为－?，?，?，?，?。由此解出：?2-1/212033-11802因此考虑到晶体的平移周期后，对于点群产生了一定的限制。晶体的微观对称性——230个空间群1.平移轴图形中各点按一矢量I进行移动的操作称为平移。进行平移所凭借的直线称为平移轴，显然能凭借平移而复原的图形必然是无限的。在晶体中，I等于任一晶格格矢。I?R?n1a1?n2a2?n3a32.螺旋轴由螺旋和平移构成的复合操作称为螺旋旋转，用L(?)T(t)表示，这里?表示旋转角，t表示平移矢量。施行旋转所凭借之轴称为旋转轴，与旋转轴和对应的螺旋旋转中也可能有1、2、3、4、6等五种旋转，螺旋轴的符号为Nm，这里N表示旋转

6、轴的次数。m与ma，a为在t方向N?1的点阵平移周期。图2.7.1给出了L()T(a)螺旋旋24平移矢量t的位移大小有关，t?转的分解图，图2．7．2结出了42、43及44螺旋旋转对称图形。3.滑移面21由平移及镜面构成的操作称为滑移反映。用MT（t）表示，进行此操作所凭借的平面称为滑移面。滑移面分轴线滑移面、对角线滑移面和菱形滑移面三类。设a,b,c为点阵空间中三个平移单位矢量。图2．7．3(a)结出的是轴线滑移面的操作示意图，滑移面G垂直于纸面，图中点1经滑移面G反映后到点1’，然后可沿滑移面a到达2而使图形还原。同样的操作也可存在2bc于滑移或的距离，与之对应的轴线滑移面可分别

7、22G滑移用a，b，c来表示。图2．7．3(b)是对角线滑移面示意图，沿移面与纸面重合，与a、b组成的平面重合。其中实心的圆在纸面上部，而空心圆在纸面下部，经纸面反映后再平移平移ab?可使图形复原。当然也存在22ab?的情况，如图2．7．3(c)所示。对于反映44abcbac后平移?或?或?者都称为对角线滑移222222abcbac面，而反映后平移?或?或?以及平移444444a?b?c者都称为对角线滑移面。4总结：晶体共有7个晶系，14种布喇菲格子，32