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《复旦大学材料物理第9课》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第9课关于一维周期势场中电子运动的理论处理思路固体是由大量的原子组成，每个原子又有原子核和电子，原则上说.如果能写川这个多体问题的薛定鄂方程，而且求出该方程的解，便可以了解W体的许多物理性质。前而的讨论是单个电子在周期性场巾运动的基本特性。把多体问题简化为单电子问题，屮间需要经过多次简化：1.绝热近似。考虑到原子核的质量比电子人，离子运动速度慢，在讨论电子M题时，可以认为离子是同定在瞬时的位置上。这样，多种粒了的多体问题就简化成多电了问题。2.单电子近似(哈特氓一福兑近似)。利用哈特甩一福克A治场方法，电子问
2、题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及其他电子的平均场巾运动。3.周期场近似。认为所奋离子势场和其他电子的平均场足周期性势场。对于三维的周期场中的单电子问题也以能用各种近似方法求解。通常选収某个具有布洛赫函数形式的完全粜合，把晶体电了•态的波函数川此函数集合展开，然后代入薛定鄂方程，确定展开式的系数所必须满足的久期方程，裾此可求得能辩木征位，再依照逐个木征位确定波函数展丌式的系数。不同的方法仅在于选择不同的函数集合。这是理论计算的框架，实际品体的能帯计算必须借助快速大容M•的电子计算机。所以，晶体
3、能带结构的计算是十分繁重的工作。因而一些半经验的方法起相当重要的作用，它借助实验数据来确定计算较网难的量。三维情况的布洛赫定理Rn=Wiai+W2a2+W3a3若函数f(r)具有晶格的周期性，则/(r)=/(r+R;)引入平移矢MT(Rn),对于单电子的周期势能V(r)有T(RJV(r)=V(r+RJ=V(r)在周期势场中运动的单电子薛定鄂方程为ft2H^(r)=[-—V2+V(r)>(r)=E抑)2m如果属于能景E有d个独立解巩(r)，妁(r),灼(r)，…，％(r)满足正交归一化条件J由于TH^(r)=£
4、T^.(r);TH^.(r)=HT^.(r)nJ•以有H仍(r+R/z)=£奶(r+RJ即0(r+R。)也是薛定鄂方程的一个解。显然此解不可能是独立的，应是d个解的线性组合，即^.(r+RJ=^C^z.(r)7=1奶(r+Rn)依然冇满足正交归一化条件，即J(r+R„)%(r+R„)介=么=>HGC加J奶*(r)(pm(r)dr=8^/m乂因J<(rM(r)々=4,，故CuC.t=I平移算苻满足交换率，可以对易，即T(R,)T(RJ=T(RJT(R)因此所有平移算苻有有井M的本征函数，所有的平移算符又都同H对
5、易，W而所有平移算将和H有井M的本征函数。设此本征函数为%(r)=S⑺/且TCRJ^CD^r/RJ^Cr)Z/RJ是平移算苻的本征值。山于T(R„+Rw)=T(RJT(R,J可有f(R,,+RJ=f(R,,)/(RJ对此式取对数，有logz(R/?+R„)=logZ(Rn)+logz(RJ依次关系，可把本征值写为由此T(RJ^//(r)=%(r+RJ=exp(z^JRJ^(r)如果令yLl(r)=expGk"Dr)'(r)则〜(r)一定满足关系uk^(r+RJ=ukfi(r)如果把k看成一个连续变量，则4去掉
6、下标因此有^(r)=exp(zkZtX.(r)乂(r+RJ=wA(r)即：描述晶体电子状态的布洛赫波是调幅的平面波，调幅函数&(r)具有与晶体相同的周期性。这就是三维空间中的布洛赫定律。如果晶体有原胞，每个原胞体积Q=ain：a2xa3)，晶体体积是WQ,波函数exp(/kzyEi-)wA.(r),归一化条件/V£2K(r)(/A(r)6’r=^J…n；(rX(r)t/r=£
7、wA(r)
8、2dr=l所以布洛赫波的周期因子人(r)的模的平均位约为
9、%
10、口引入倒格子，丼定义倒格矢，b1=2^a^Xa31QBa.x
11、a,b，=2;r31b3=2?r2Qa,xa2Q【注意：此定义与前而略有不同，差了一个2兀因子】可以证明：a,.Jby=IttS..在倒易空问屮，波矢可表为k=r1b,+r2b2+r3b3利用边界条件仏(r+即)=1//⑻，(7=1,2,3)Hexp(zkCWa)=1JJ由此得到rJNj=lJ(整数)/;是任意整数。当久换成巧=巧+/7吋，相当于波矢k换成k’=k+K/:,K„是倒格矢.波矢为k’的波函数为K+k,⑺=exp[f(k+K")3*]wk+K/(r)=exp(zkQ*)l“k+K，(r)exp(/
12、KAIZr)J方括号中的函数仍然是品格的周期函数，可记为~(r)。因此k’=k+KA的态和k态足两个等价的状态，N.N.代表相同的电荷分布。因而人们往往把限制在-一^到的范围内。若Nj是奇数，取上述范围的止:、J227负整数以及零；苦Nj偶数这区间的两端点取其一.综合这两种怡形，讨确定如卜*范围相应的波矢k的范围是b.b.--J-
